{"id":30274,"date":"2025-01-01T04:51:47","date_gmt":"2025-01-01T03:51:47","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=30274"},"modified":"2025-01-07T11:20:13","modified_gmt":"2025-01-07T10:20:13","slug":"buon-2025-matematico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/01\/01\/buon-2025-matematico\/","title":{"rendered":"Buon 2025 matematico!"},"content":{"rendered":"<p>Il 2025 \u00e8 un anno il cui valore ha molte propriet\u00e0 matematiche, come racconta <a href=\"https:\/\/www.futilitycloset.com\/2024\/12\/26\/a-banner-year\/\">Greg Ross<\/a>:<\/p>\n<ul>\n<li>\u00c8 un quadrato (45&sup2;).<\/li>\n<li>\u00c8 il prodotto di due quadrati (9&sup2; \u00d7 5&sup2;).<\/li>\n<li>\u00c8 la somma dei cubi dei primi nove numeri naturali (1&sup3; + 2&sup3; + 3&sup3; + 4&sup3; + 5&sup3; + 6&sup3; + 7&sup3; + 8&sup3; + 9&sup3; = 2025), e pertanto il quadrato della loro somma (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)&sup2; = 2025.<\/li>\n<li>\u00c8 il termine centrale di una progressione aritmetica di quadrati (81, 2025, 3969).<\/li>\n<li>\u00c8 il pi\u00f9 piccolo numero con esattamente 15 fattori dispari (1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025).<\/li>\n<li>\u00c8 la somma dei numeri in una tavola pitagorica 9\u00d79.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Nel 2025 avremo inoltre un &#8220;giorno pitagorico&#8221;: il 24\/7\/25, perch\u00e9 24&sup2; + 7&sup2; = 25&sup2;.<\/p>\n<p>Se volete giocare un po&#8217; con il numero 2025, ecco alcuni problemi, gli ultimi due tratti da <a href=\"https:\/\/mathjokes4mathyfolks.wordpress.com\/2024\/12\/20\/math-problems-for-2025\/\">Mathy Jokes for Mathy Folks<\/a>.<\/p>\n<ol>\n<li>La nazione di Tess\u00e9ra ha come moneta il quad. Ma la cosa davvero interessante \u00e8 che tutte le banconote hanno come valore un numero che \u00e8 un quadrato perfetto: quindi ci sono banconote da 1, 4, 9, 16, &#8230; fino a 50&sup2; = 2500 quad. Se devo pagare 2025 quad ma non ho la banconota corrispondente, posso ovviamente usare 2025 banconote da 1 quad; ma non ne servono cos\u00ec tante. Per esempio, ne posso usare solo quattro: una da 1936 quad, una da 81 quad e due da 4 quad. \u00c8 possibile pagare 2025 quad con solo tre banconote? E con due? <\/li>\n<p><!-- S\u00ec. Abbiamo 2025 = 40&sup2; + 20&sup2; + 5&sup2; = 27&sup2; + 36&sup2;. La seconda scomposizione era facile, la prima un po' meno. --><\/p>\n<li>Se dividiamo tipograficamente a met\u00e0 il 2025, ottenendo dunque 20 25, sommiamo i due numeri e li eleviamo al quadrato otteniamo di nuovo 2025: (20 + 25)&sup2; = 2025. Quali sono gli altri due numeri di quattro cifre con la stessa propriet\u00e0?<\/li>\n<p><!-- Gli altri due numeri sono 3025 e 9801. Il modo pi\u00f9 semplice per trovarli a mano \u00e8 partire dal fatto che la somma delle due parti \u00e8 un quadrato. --><\/p>\n<li>Ho con me 2025 cubetti unitari. Qual \u00e8 la minima superficie di una scatola che li contenga tutti esattamente?<\/li>\n<p><!-- Se i lati della scatola sono a, b, c, con abc = 2025, la sua superficie \u00e8 2(ab + bc + ac), e per minimizzarla occorre avere i tre addendi il pi\u00f9 simile possibile. La soluzione \u00e8 una scatola 15\u00d715\u00d79, di superficie 495. --><\/p>\n<li>Un numero naturale <i>n<\/i> si dice <b>disponibile<\/b> se \u00e8 possibile trovare un insieme di <i>n<\/i> numeri interi non necessariamente distinti tali che la somma e il prodotto di numeri dell&#8217;insieme \u00e8 uguale al numero di partenza. Per esempio, {&minus;1, &minus;1, 1, 1, 1, 1, 2, 4} ha somma e prodotto 8, quindi 8 \u00e8 disponibile. Secondo voi, 2025 \u00e8 disponibile o no?<\/li>\n<p><!-- S\u00ec, \u00e8 disponibile. Ogni numero <i>n<\/i> della forma 4<i>k<\/i>+1 corrisponde a un insieme di (<i>n<\/i>&minus;1)\/2 copie di 1, (<i>n<\/i>&minus;1)\/2 copie di &minus;1 e del numero stesso. --><\/p>\n<li>Usando una sola volta le quattro cifre 2,0,2,5 scrivete un&#8217;espressione che valga 2025. Sono accettate le quattro operazioni, l&#8217;elevamento a potenza, la radice quadrata, fattoriali &#8220;!&#8221;, <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Glossario_di_combinatoria#Semifattoriale\">semifattoriali<\/a> &#8220;!!&#8221;, concatenazione di al massimo due cifre (altrimenti avreste gi\u00e0 2025&#8230;), il punto decimale. Io non ho trovato una soluzione che lasci le cifre in ordine, voi magari ci riuscite&#8230;<\/li>\n<p><!-- ((2+0!)\u00d75!!)&sup2; -->\n<\/ol>\n<p>Infine, siete in grado di emulare Inder Taneja e ottenere 2025 usando al pi\u00f9 nove copie di una singola cifra da 1 a 9, con le quattro operazioni, l&#8217;elevazione a potenza e parentesi a piacere? Lo si pu\u00f2 fare con tutte e nove le cifre.<br \/>\n<!-- da https:\/\/inderjtaneja.wordpress.com\/2024\/12\/24\/reflexive-year-25-mathematics-of-25-and-2025-in-numbers-and-magic-squares-part-1\/ : (1+1)<sup>11<\/sup>\u221211\u221211\u22121 ; (2\u00d722 + 2\/2)&sup2; ; 3\u00d7(3\u00d7(3+3)&sup3;+3&sup3;); (44 + 4\/4)<sup>(4+4)\/4<\/sup> ; 5\u00d7(5\u00d7(55 + 55) + 5) ; 6\u00d76\u00d76\u00d76 + ((6\u00d76)\/(6+6))<sup>6<\/sup>; (7+7+ 7\/7)\u00d7(((7+7)\/7)<sup>7<\/sup> + 7) ; 88\u00d7(8+8+8 \u22128\/8) + 8\/8; 9\u00d7((9+9)\u00d7(9+9)\u221299) --><\/p>\n<p><b>Aggiornamento:<\/b> (7 gennaio) Ecco la dimostrazione per induzione che la somma dei cubi da 1 a $n$ (che abbrevio in $C_n$) \u00e8 uguale al quadrato della somma dei numeri da 1 a $n$: il tutto per induzione. Il caso $n = 1$ \u00e8 immediato; se l&#8217;uguaglianza vale per $n$ abbiamo nel caso $n+1$<\/p>\n<p>$(1 + 2 + \\cdots + n + (n+1))^2 = ((1 + 2 + \\cdots + n) + (n+1))^2 = (1 + 2 + \\cdots + n)^2 + (n+1)^2 + 2(1 + 2 + \\cdots + n)(n+1) = C_n + (n^2 + 2n + 1) + 2n((n+1)\/2)(n+1) = C_n + n^2 + 2n + 1 + n^3 + 2n^2 + n = C_n + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = C_n + (n+1)^3 = C_{n+1}.$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Il 2025 \u00e8 un anno il cui valore ha molte propriet\u00e0 matematiche, come racconta Greg Ross: \u00c8 un quadrato (45&sup2;). \u00c8 il prodotto di due quadrati (9&sup2; \u00d7 5&sup2;). \u00c8 la somma dei cubi dei primi nove numeri naturali (1&sup3; + 2&sup3; + 3&sup3; + 4&sup3; + 5&sup3; + 6&sup3; + 7&sup3; + 8&sup3; + 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