{"id":30250,"date":"2024-12-25T04:51:45","date_gmt":"2024-12-25T03:51:45","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=30250"},"modified":"2024-12-25T20:22:47","modified_gmt":"2024-12-25T19:22:47","slug":"il-rapporto-argenteo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/12\/25\/il-rapporto-argenteo\/","title":{"rendered":"Il rapporto argenteo"},"content":{"rendered":"

\"ilInnanzitutto buon Natale, cos\u00ec non me lo dimentico :-) <\/p>\n

Conoscete tutti il rapporto aureo, il numero che divide un segmento in due parti che hanno rapporto uguale a quello tra il segmento stesso e la parte maggiore: $\\frac{a+b}{a} = \\frac{a}{b} = \\varphi$; o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = x + 1$. \u00c8 molto meno noto il suo fratello, il rapporto argenteo<\/b> (o numero argenteo) σ. Esso si definisce in modo simile: \u00e8 il numero dato dall’uguaglianza $\\frac{2a+b}{a} = \\frac{a}{b} = \\sigma$, o se preferite la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = 2x + 1$.<\/p>\n

Facendo i conti, il rapporto argenteo vale $1 + \\sqrt{2}$, cio\u00e8 circa 2,41421 o se preferite circa 70\/29. In figura in alto vedete un rettangolo argenteo che contiene un altro rettangolo argenteo ottenuto togliendo i due quadrati verdi; da qui togliendo i due quadrati rossi si ottiene un terzo rettangolo argenteo.<\/p>\n

\"il<\/a> Il rapporto argenteo non \u00e8 carino come quello aureo, ma ha comunque alcune interessanti propriet\u00e0. Se per esempio consideriamo l’iterazione $x \\gets \\tfrac12 (x^2+1) \/(x-1)$ per $x_0 \\in [2,3]$, abbiamo che σ \u00e8 un punto fisso superstabile: cio\u00e8 la derivata della funzione in quel punto \u00e8 nulla, il che significa che la convergenza \u00e8 estremamente rapida. Inoltre, lo sviluppo in frazione continua del numero argenteo \u00e8 σ = [2; 2, 2, 2, 2, …] (confrontatela con quella del numero aureo ϕ = [1; 1, 1, 1, 1, …]), con 1\/σ = [0; 2, 2, 2, 2, …]; il rapporto argenteo \u00e8 un numero di Pisot (il secondo, dopo il rapporto aureo), il che significa che le sue potenze sono ottime approssimazioni di numeri interi. <\/p>\n

Dall’iterazione $x \\gets \\sqrt{1 +2x \\vphantom{\/} }$ otteniamo poi il radicale innestato \u03c3 = $\\sqrt{1 +2\\sqrt{1 +2\\sqrt{1 +\\cdots}}} \\;.$ Troviamo un rettangolo argenteo anche all’interno di un ottagono regolare, come mostrato in figura. Altre propriet\u00e0 del numero argenteo: $1 =\\frac{1}{\\sigma -1} + \\frac{1}{\\sigma +1}$, $\\sigma =\\frac{\\sigma +1}{\\sigma -1}$, $ \\sigma =2\\sum_{n=0}^{\\infty} \\sigma^{-2n}$.<\/p>\n

Un’ultima curiosit\u00e0: nella figura qui sotto vediamo come dei rettangoli di rapporto tra i lati \u03c3\u22121 (blu e verde), \u03c3\/(\u03c3\u22121) (rosso e marrone) e \u03c3 (viola, giallo) tassellano un quadrato.
\n\"\"<\/p>\n

(Immagine dei rettangoli non proprio argentei di Zilverspreeuw, da Wikimedia Commons<\/a>)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Vale meno del rapporto aureo, per\u00f2… <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-30250","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-7RU","jetpack-related-posts":[{"id":31513,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/02\/19\/il-rapporto-superaureo\/","url_meta":{"origin":30250,"position":0},"title":"Il rapporto superaureo","author":".mau.","date":"2025-02-19","format":false,"excerpt":"Per chi trova svalutato il rapporto aureo...","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"rettangoli superaurei","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=700%2C400&ssl=1 2x"},"classes":[]},{"id":31571,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/02\/26\/il-rapporto-superaureo-2\/","url_meta":{"origin":30250,"position":1},"title":"Il rapporto superaureo – 2","author":".mau.","date":"2025-02-26","format":false,"excerpt":"Continuiamo a vedere le propriet\u00e0 del rapporto superaureo, e le somiglianze e differenze con il rapporto aureo.","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"spirale superaurea","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":29870,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/10\/18\/partizioni-egizie-continua\/","url_meta":{"origin":30250,"position":2},"title":"Partizioni egizie – continua","author":".mau.","date":"2024-10-18","format":false,"excerpt":"Come ha fatto Graham a dimostrare che i numeri da 78 in poi sono strettamente egizi?","rel":"","context":"In "mate-light-2024"","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"l'inizio della tabella di Graham","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/10\/graham.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/10\/graham.jpg?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/10\/graham.jpg?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":31897,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/03\/26\/il-rapporto-plastico\/","url_meta":{"origin":30250,"position":3},"title":"Il rapporto plastico","author":".mau.","date":"2025-03-26","format":false,"excerpt":"Un altro numero che si trova spesso nelle successioni ricorsive","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"spirali plastiche","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/03\/plastic-spirals-1.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":36069,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/02\/25\/addizione-pitagorica\/","url_meta":{"origin":30250,"position":4},"title":"Addizione pitagorica","author":".mau.","date":"2026-02-25","format":false,"excerpt":"L'abbiamo usata tutti non so quante volte...","rel":"","context":"In "mate-light 2026"","block_context":{"text":"mate-light 2026","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2026\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":31941,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/04\/02\/il-rapporto-plastico-2\/","url_meta":{"origin":30250,"position":5},"title":"Il rapporto plastico – 2","author":".mau.","date":"2025-04-02","format":false,"excerpt":"Ancora sul numero plastico, con tante figure...","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"icosidodecadodecaedro camuso","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/04\/480px-Snub_icosidodecadodecahedron.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/30250","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=30250"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/30250\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":31512,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/30250\/revisions\/31512"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=30250"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=30250"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=30250"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}