{"id":30083,"date":"2024-11-27T10:31:55","date_gmt":"2024-11-27T09:31:55","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=30083"},"modified":"2024-11-27T10:28:38","modified_gmt":"2024-11-27T09:28:38","slug":"i-mattoni-di-eulero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/11\/27\/i-mattoni-di-eulero\/","title":{"rendered":"I mattoni di Eulero"},"content":{"rendered":"

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\nImmagino che ai miei ventun lettori non serva spiegare cos’\u00e8 una terna pitagorica: ma magari qualcuno capita qui per caso e non sa che \u00e8 una terna di numeri naturali che sono i lati di un triangolo rettangolo. La terna pitagorica pi\u00f9 famosa \u00e8 (3,4,5), perch\u00e9 3² + 4² = 5²; poi ce ne sono infinite, come per esempio (5,12,13) o (40,42,58). In altre parole, i primi due numeri della terna sono i lati di un rettangolo la cui diagonale \u00e8 il terzo numero.<\/p>\n

Bene. Che succede se vogliamo avere un parallelepipedo di lati interi e che abbia le diagonali sulle facce anch’esse intere? Otteniamo un mattone di Eulero<\/a>. In formule, dobbiamo cercare tre numeri interi $a, b, c$ tali che <\/p>\n

$ \\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\\\ a^2 + c^2 = e^2\\\\ b^2 + c^2 = f^2\\end{cases} $<\/p>\n

con $d, e, f$ anch’essi numeri naturali. Si sa che il pi\u00f9 piccolo mattone di Eulero ha lati $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ e diagonali delle facce $(d, e, f ) = (125, 244, 267)$. <\/p>\n

Eulero trov\u00f2 due formule parametriche che generano infiniti mattoni di Eulero, ma a differenza di quello che succede per le terne pitagoriche<\/a> esse non generano tutti i mattoni possibili. Un modo per ottenere un mattone di Eulero a partire da una terna pitagorica $(u, v, w)$, dove $w$ \u00e8 la diagonale del rettangolo di lati $u$ e $v$, \u00e8 dovuta a Nicholas Saunderson: la terna $a=u|4v^2-w^2|, b=v|4u^2-w^2|, c=4uvw$ \u00e8 quella voluta; le facce hanno infatti diagonali $d=w^3, e=u(4v^2+w^2), f=v(4u^2+w^2)$. Esistono per\u00f2 infiniti mattoni che non hanno questa struttura, come per esempio $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ che ha come diagonali delle facce $(d, e, f ) = (348, 365, 373)$. <\/p>\n

Uno potrebbe chiedersi a questo punto se esistono mattoni di Eulero perfetti, dove anche la diagonale principale del parallelepipedo \u00e8 un intero: probabilmente no, ma non esiste una dimostrazione al riguardo. Sappiamo per\u00f2 che il lato pi\u00f9 corto deve essere almeno lungo 5 \u00d7 1011<\/sup> e la diagonale principale almeno 9 \u00d7 1015<\/sup>. Diciamo che se ne esistesse uno sarebbe un bel colpo… In compenso, se accettiamo di non avere angoli retti e quindi ottenere un parallelepipedo non rettangolo, allora sono stati trovati vari “mattoni storti perfetti”. Bisogna sapersi accontentare!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

una generalizzazione in 3D delle terne pitagoriche.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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