{"id":29870,"date":"2024-10-18T04:51:33","date_gmt":"2024-10-18T02:51:33","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29870"},"modified":"2024-10-18T14:48:30","modified_gmt":"2024-10-18T12:48:30","slug":"partizioni-egizie-continua","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/10\/18\/partizioni-egizie-continua\/","title":{"rendered":"Partizioni egizie – continua"},"content":{"rendered":"

\"l'inizioMercoled\u00ec avevo raccontato<\/a> di come Ron Graham avesse dimostrato che tutti i numeri maggiori di 77 erano strettamente egizi, cio\u00e8 possono essere scritti come somma di numeri tutti distinti i cui inversi hanno somma 1. Come l’ha dimostrato? Basta leggere il suo papero<\/a>, no? Riporto qua il suo ragionamento, che parte dal fatto che D. H. Lehmer aveva dimostrato che 77 non era strettamente egizio.<\/p>\n

Graham ha calcolato una tabellona contenente una partizione per ciascun numero da 78 a 166, e ciascun numero dispari da 167 a 333. L’inizio di questa tabella \u00e8 mostrato in figura. Ma perch\u00e9 proprio questi numeri? Perch\u00e9 gli servivano per costruire tutti gli altri. Per la precisione, chiaramente $\\tfrac{1}{2}+\\tfrac{1}{2} = 1$. Ma se allora abbiamo una partizione con $1 = \\tfrac{1}{d_1} + \\tfrac{1}{d_2} + \\cdots + \\tfrac{1}{d_k}$ e $\\sum_1^k d_i = n$, possiamo costruirne una del tipo $1 = \\tfrac{1}{2} + \\tfrac{1}{2d_1} + \\tfrac{1}{2d_2} + \\cdots + \\tfrac{1}{2d_k}$; tutti i termini sono distinti, perch\u00e9 nessun $d_i$ pu\u00f2 essere 1, e la somma dei denominatori \u00e8 2$n$ + 2. Questo significa che prendendo i numeri da 78 a 166 nella tabella (l’articolo ha un refuso, tra l’altro) e applicando questo trucco otteniamo tutti i numeri pari da 168 a 334. Quindi sappiamo che tutti i numeri da 78 a 334 sono strettamente egizi. A questo punto Graham, da buon prestigiatore, tira fuori dal cappello un’altra somma che d\u00e0 $\\tfrac{1}{2}$, cio\u00e8 $\\tfrac{1}{3} + \\tfrac{1}{7} + \\tfrac{1}{78} + \\tfrac{1}{91}$. Notate che tutti i denominatori sono dispari tranne il 78, e quindi raddoppiare i denominatori di un numero strettamente egizio non pu\u00f2 creare doppioni… E per quanto riguarda il 78, “casualmente” non ci sono denominatori 39 nella tabella e quindi non pu\u00f2 essere generato. In questo caso abbiamo che la nuova somma dei denominatori \u00e8 2$n$ + 179. Usando entrambe queste formule possiamo ora estendere la nostra tabella da 2·78 + 179 a 2·334 + 2, cio\u00e8 da 335 a 670; e anche qui continuiamo a non avere denominatori 39 che ci rovinerebbero il gioco. Da qui possiamo estenderla a 1340 (raddoppiando tutti i numeri fino a 670 e notando che i numeri fino a 570 con la seconda formula ci fanno arrivare a 1339) e cos\u00ec via. Quod erat demonstrandum :-)<\/p>\n

La dimostrazione non \u00e8 bella, concordo con voi; la tabella \u00e8 troppo grande per essere accettabile esteticamente. Ma meglio una tabella e un po’ di teoria che nessun teorema. Tra l’altro, costruire la tabella oggi non sarebbe chiss\u00e0 quale problema, e anzi potremmo facilmente calcolare tutte le possibili partizioni per quei numeri in pochi secondi; ma ricordo che l’articolo \u00e8 stato pubblicato nel 1963, e anche se Graham lavorava ai Bell Labs che probabilmente aveva computer all’avanguardia non \u00e8 che ci fosse cos\u00ec tanta potenza di calcolo. Immagino che per parecchi numeri abbia usato la prima delle uguaglianze qui mostrate, e poi abbia usato alcuni trucchi partendo dalle partizioni “piccole”; ma comunque deve essere stato un lavoraccio. Ma ancora peggio deve essere stata la fatica di Lehmer per dimostrare che 77 non era strettamente egizio, visto che in questo caso non si possono trovare controesempi… di quello s\u00ec che mi piacerebbe vedere la dimostrazione!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Come ha fatto Graham a dimostrare che i numeri da 78 in poi sono strettamente egizi?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-29870","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-7LM","jetpack-related-posts":[{"id":29865,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/10\/16\/partizioni-egizie\/","url_meta":{"origin":29870,"position":0},"title":"Partizioni egizie","author":".mau.","date":"2024-10-16","format":false,"excerpt":"Una curiosit\u00e0 legata alla scrittura di un numero come somma di frazioni egizie.","rel":"","context":"In "mate-light-2024"","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"L'occhio di Horus e le sue frazioni corrispondenti","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/10\/Eye_of_Horus_fractions.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":34222,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/11\/16\/quizzino-della-domenica-frazioni-egizie\/","url_meta":{"origin":29870,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: Frazioni egizie","author":".mau.","date":"2025-11-16","format":false,"excerpt":"774 - 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