{"id":29729,"date":"2024-09-25T19:08:33","date_gmt":"2024-09-25T17:08:33","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29729"},"modified":"2024-09-25T19:35:39","modified_gmt":"2024-09-25T17:35:39","slug":"approssimare-il-perimetro-di-unellisse","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/09\/25\/approssimare-il-perimetro-di-unellisse\/","title":{"rendered":"Approssimare il perimetro di un’ellisse"},"content":{"rendered":"

\"un'ellisse\" Se abbiamo un cerchio di raggio $r$, la sua circonferenza \u00e8 $2\\pi r$. Questo \u00e8 facile. Se abbiamo un’ellisse di semiassi $a$ e $b$, il suo perimetro \u00e8 $P(a,b) = 4aE(e^2)$, dove l’eccentricit\u00e0 $e$ \u00e8 data da $\\sqrt{a^2-b^2}\/a$ ed $E$ \u00e8 l’integrale $E(x) = \\int_{0}^{\\pi\/2}(1-x \\sin^2\\theta)^{1\/2}d\\theta$. Un po’ meno facile, considerato poi che quell’integrale \u00e8 un integrale ellittico del secondo tipo (poca fantasia nei nomi, concordo) e non \u00e8 risolubile se non con metodi numerici.
\nChe si pu\u00f2 fare, allora? Si pu\u00f2 provare a cercare un’approssimazione e accontentarsi di quella. Il solito Ramanujan trov\u00f2 questa formula: <\/p>\n

$P = \\pi(a+b)\\left( 1 + \\frac{3 \\lambda^2}{10 + \\sqrt{4-e\\lambda^2}} \\right)$<\/div>\n

dove $\\lambda = (a-b)\/(a+b)$. Io non ho idea se questa formula sia davvero venuta a Ramanujan in sogno, ma \u00e8 di una precisione incredibile. Tenete conto che queste formule in genere sono sempre meno precise man mano che l’eccentricit\u00e0 $e$ aumenta; John D. Cook mostra<\/a> che se prendiamo l’orbita del pianeta nano Sedna che ha un’eccentricit\u00e0 0,8549 (Plutone, per confronto, ha 0,2488 e la terra 0,0167) e un semiasse maggiore di 76 miliardi di chilometri, l’errore commesso con questa formula \u00e8 di 53 chilometri.
\nLa cosa ancora pi\u00f9 bella di questa approssimazione \u00e8 che l’errore relativo \u00e8 limitato, e resta sempre sotto lo 0,0051% anche con un’eccentricit\u00e0 massima. Direi che ci si pu\u00f2 accontentare!<\/p>\n

(figura di ZetaZeti, da Wikimedia Commons<\/a>)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Se abbiamo un cerchio di raggio $r$, la sua circonferenza \u00e8 $2\\pi r$. Questo \u00e8 facile. Se abbiamo un’ellisse di semiassi $a$ e $b$, il suo perimetro \u00e8 $P(a,b) = 4aE(e^2)$, dove l’eccentricit\u00e0 $e$ \u00e8 data da $\\sqrt{a^2-b^2}\/a$ ed $E$ \u00e8 l’integrale $E(x) = \\int_{0}^{\\pi\/2}(1-x \\sin^2\\theta)^{1\/2}d\\theta$. 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