{"id":29535,"date":"2024-08-21T04:51:05","date_gmt":"2024-08-21T02:51:05","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29535"},"modified":"2024-08-21T22:03:48","modified_gmt":"2024-08-21T20:03:48","slug":"dadi-non-transitivi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/08\/21\/dadi-non-transitivi\/","title":{"rendered":"Dadi non transitivi"},"content":{"rendered":"

\"facce Qui a fianco vedete lo sviluppo di tre dadi non standard, nel senso che non hanno tutti i numeri da 1 a 6. Cosa c’\u00e8 di interessante in questi dadi? Semplice. Immaginate di dire a un vostro (ancora per poco…) amico “scegli un dado qualunque, e io poi ne scelgo un altro. Poi lanciamo il nostro dado per 10 volte, e chi ha ottenuto il punteggio pi\u00f9 basso per il maggior numero di volte pagher\u00e0 la cena per entrambi”. Vediamo che succede.<\/p>\n

Se l’amico ha scelto A, noi scegliamo C. In due casi su sei (se io faccio 6) vinco sicuramente; negli altri quattro casi vinco una volta su 3 (se lui fa 1). Probabilit\u00e0 di mia vittoria: 2\/6 + (1\/3)(4\/6) = 5\/9.<\/p>\n

Se l’amico ha scelto B, noi scegliamo A. In quattro casi su 6 (se io faccio 5) vinco cinque volte su sei (lui non deve fare 6); negli altri due casi perdo. Probabilit\u00e0 di mia vittoria: (4\/6)(5\/6) = 5\/9.<\/p>\n

Se l’amico ha scelto C, noi scegliamo B. In un caso su sei (se io faccio 6) vinco quattro volte su sei e pareggio le altre due; in tre casi su sei (se io faccio 4) vinco quattro volte su sei e pareggio le altre due; nei restanti due casi vinco due volte su 6, pareggio due volte e perdo due volte. Probabilit\u00e0 di mia vittoria: (1\/6)(4\/6) + (3\/6)(4\/6) + (2\/6)(2\/6) = 5\/9. (E a volte pareggio comunque!)<\/p>\n

Dadi di questo tipo si chiamano non transitivi<\/b>, perch\u00e9 non \u00e8 possibile creare un ordine transitivo di valore tra i dadi.<\/p>\n

\u00c8 interessante notare che se invece che avere dadi a sei facce (tanto, ormai…) li prendiamo con Fm<\/sub><\/i> facce, dove Fm<\/sub><\/i> \u00e8 un numero di Fibonacci, e chiamiamo $Pr(A\\gt B)$ la probabilit\u00e0 che il dado A vinca sul dado B, possiamo trovare una configurazione di punti per cui
\n$Pr(A\\gt B) = Pr(B\\gt C) = F_{m-1}\/F_m$
\ne
\n$Pr(C\\gt A) = F_{m-1}\/F_m \\pm 1\/F_m^2.$
\nIl “pi\u00f9 o meno” nell’ultima espressione dovrebbe subito farvi venire in mente il rapporto aureo φ, e infatti si pu\u00f2 anche dimostrare che la minima di queste tre probabilit\u00e0 deve essere minore di 1\/φ, che \u00e8 il risultato asintotico migliore.<\/p>\n

Il risultato \u00e8 indubbiamente carino, perch\u00e9 poco intuitivo: ma si pu\u00f2 persino fare di meglio, come vedremo la prossima settimana! <\/p>\n

Aggiornamento:<\/b> 22:00) Carlo Mannucci ha stampato in 3D i dadi. Chi \u00e8 interessato pu\u00f2 trovare lo schema qui<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00c8 possibile costruire tre dadi non standard A, B, C tali per cui C sia migliore di A, A migliore di B e B migliore di C.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-29535","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-7Gn","jetpack-related-posts":[{"id":29541,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/08\/28\/i-dadi-di-lake-wobegon\/","url_meta":{"origin":29535,"position":0},"title":"I dadi di Lake Wobegon","author":".mau.","date":"2024-08-28","format":false,"excerpt":"In questo caso abbiamo tre dadi, ciascuno dei quali in genere \u00e8 migliore della media degli altri due1","rel":"","context":"In "mate-light-2024"","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"facce del dado D: un 5 e cinque 3; 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