{"id":29307,"date":"2024-07-17T04:51:01","date_gmt":"2024-07-17T02:51:01","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29307"},"modified":"2024-07-17T12:25:26","modified_gmt":"2024-07-17T10:25:26","slug":"usare-equamente-una-moneta-iniqua","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/07\/17\/usare-equamente-una-moneta-iniqua\/","title":{"rendered":"Usare equamente una moneta iniqua"},"content":{"rendered":"

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\nProbabilmente conoscete il quizzino che vi chiede di usare una moneta truccata, che se lanciata esce testa con probabilit\u00e0 $p$ compresa strettamente tra 1\/2 e 1, per ottenere una probabilit\u00e0 del 50% esatto di vincita. La risposta, che si dice essere dovuta direttamente a John von Neumann (ma non ne sarei cos\u00ec certo) \u00e8 la seguente: “Lanciate la moneta due volte: se il risultato \u00e8 prima testa poi croce (nel seguito, TC) vince il primo giocatore; se \u00e8 prima croce e poi testa (CT) vince il secondo giocatore; altrimenti si ricomincia da capo”. L’idea, come avrete capito, \u00e8 di trovare due combinazioni simmetriche, in modo che la loro possibilit\u00e0 di uscita sia la stessa. <\/p>\n

La fregatura \u00e8 che potrebbero volerci molti lanci per avere la nostra successione TC oppure CT; se per esempio $p = \\frac{3}{4}$, la probabilit\u00e0 di dover ripartire da capo dopo due lanci \u00e8 il 62.5%. Esistono dei modi per ridurre il numero di lanci; possiamo per esempio dire che sopo il quarto lancio TTCC equivale a TC e CCTT a CT, dopo l’ottavo lancio TTTTCCCC equivale a TC e CCCCTTTT a CT, e cos\u00ec via. Ma il rischio di proseguire all’infinito c’\u00e8 sempre, e uno si pu\u00f2 giustamente chiedere se esiste una strategia di tip diverso che garantisca di riuscire a ottenere esattamente il 50% dopo un numero finito di lanci. Di per s\u00e9 la cosa non \u00e8 a priori impossibile. Immaginiamo di lanciare la moneta tre volte: uscir\u00e0 TT con probabilit\u00e0 $p^2$, e se quindi avessimo una moneta con $p = \\sqrt{2}\/2$ questa probabilit\u00e0 sar\u00e0 esattamente 1\/2. Potrebbe insomma darsi che a seconda del valore di $p$ si possa trovare una combinazione legata a un numero finito di lanci che esca con probabilit\u00e0 1\/2? <\/p>\n

La risposta \u00e8 no, e lo si pu\u00f2 vedere con un esempio pratico. Supponiamo che $p = \\frac{2}{3}$ e immaginiamo di lanciare la moneta $n$ volte. Avremo allora $2^n$ possibili eventi, ciascuno con probabilit\u00e0 della forma $\\frac{k}{3^n}$: il denominatore \u00e8 dovuto al fatto che sia le teste che le croci hanno una probabilit\u00e0 della forma $\\frac{h}{3}$ con $h$ che pu\u00f2 valere 1 oppure 2. Poich\u00e9 la somma di tutte le probabilit\u00e0 deve essere 1, cio\u00e8 $\\frac{3^n}{3^n}$, \u00e8 immediato che non potremmo dividere gli eventi in due gruppi della stessa probabilit\u00e0, perch\u00e9 se moltiplichiamo le probabilit\u00e0 per $3^n$ avremo un insieme di numeri interi la cui somma \u00e8 un numero dispari.<\/p>\n

Fine della storia? Ovviamente no. Un Vero Matematico non si sarebbe sporcato le mani con tutti questi conti. Avrebbe notato che per un qualunque numero di lanci di monete le combinazioni possibili sono in numero finito; pertanto l’insieme di tutte le combinazioni possibili con un qualunque numero di lanci sar\u00e0 un’infinit\u00e0 numerabile. Peccato che i valori di probabilit\u00e0 tra 1\/2 e 1 siano pi\u00f9 che numerabili, e quindi ne rester\u00e0 un’infinit\u00e0 (pi\u00f9 che numerabile) che non potr\u00e0 essere coperta da quei casi…<\/p>\n

Non so voi, ma io (che non sono un intuizionista) trovo entrambi gli approcci interessanti, ciascuno a modo suo. Uno pu\u00f2 sporcarsi le mani e usare argomenti alla portata di un ragazzino di terza media piuttosto sveglio, oppure usare i cannoni e sfruttare una teoria molto potente. Ma \u00e8 questo il bello della matematica: non esiste una via regia, ma ci sono tante strade panoramiche!<\/p>\n

(immagine da PNGwing<\/a>)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Si pu\u00f2 dimostrare che \u00e8 in genere impossibile avere la certezza di riuscirci<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-29307","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-7CH","jetpack-related-posts":[{"id":22939,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2021\/10\/03\/quizzino-della-domenica-una-moneta-per-tre\/","url_meta":{"origin":29307,"position":0},"title":"Quizzino della domenica: Una moneta per tre","author":".mau.","date":"2021-10-03","format":false,"excerpt":"Ada, Bea e Cia vorrebbero usare una moneta per scegliere (equamente) chi di loro vincer\u00e0 un premio. 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