{"id":29146,"date":"2024-06-19T04:51:32","date_gmt":"2024-06-19T02:51:32","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29146"},"modified":"2024-06-18T17:52:55","modified_gmt":"2024-06-18T15:52:55","slug":"quando-la-fattorizzazione-non-e-unica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/06\/19\/quando-la-fattorizzazione-non-e-unica\/","title":{"rendered":"Quando la fattorizzazione non \u00e8 unica"},"content":{"rendered":"<p><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/163.png?resize=286%2C118&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"286\" height=\"118\" class=\"alignleft size-full wp-image-29150\" \/>Forse ricordate che <a href=\"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/05\/22\/interi-di-gauss-e-fattorizzazione-unica\/\">il mese scorso<\/a> ho raccontato di come la fattorizzazione unica non valga solo per gli interi ma anche per gli interi di Gauss, cio\u00e8 i numeri della forma $a + bi$ con $a$ e $b$ numeri interi: l&#8217;unica differenza \u00e8 le unit\u00e0 (i numeri invertibili) non sono solo $1$ e $-1$ ma anche $i$ e $-i$. Cosa succede se invece che $i := \\sqrt{-1}$ usassimo la radice quadrata di un altro numero primo? Il povero Ernst Kummer, nel 1843, pens\u00f2 di essere riuscito a dimostrare l&#8217;Ultimo Teorema di Fermat in questo modo, ma si accorse presto che non era cos\u00ec. Lui immaginava infatti che tutti gli anelli del tipo $\\mathbb{Z}[\\sqrt{-p}]$, cio\u00e8 dei numeri della forma $a + b\\sqrt{p}$ con $p$ primo, avessero fattorizzazione unica, ma invece non \u00e8 cos\u00ec! Se prendiamo $\\mathbb{Z}[\\sqrt{-5}]$, per esempio, scopriamo che $21 = 3 \\cdot 7 = (1 + 2\\sqrt{\u22125})(1 \u2212 2\\sqrt{\u22125})$, e tutti e quattro questi numeri non hanno nessun fattore diverso da un&#8217;unit\u00e0. Naturalmente i matematici non buttano via mai nulla, e da questo errore Kummer tir\u00f2 fuori la teoria degli ideali; ma credo che ci rimase comunque male.<br \/>\nMa quanti sono i numeri per cui la fattorizzazione \u00e8 unica? Ce ne sono solo nove, e si chiamano <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Heegner_number\">numeri di Heegner<\/a>: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. Il bello di questi numeri \u00e8 che per esempio sono correlati alla ricerca di polinomi che danno tanti numeri primi: il famoso polinomio euleriano $n^2 + n + 41$ che d\u00e0 numeri primi per $n$ che va da 0 a 39 \u00e8 per esempio collegato al 163.<br \/>\nSempre il 163 (funziona anche gli altri numeri di Heegner, ma con questo che \u00e8 il pi\u00f9 grande i conti vengono meglio) ha un&#8217;altra caratteristica curiosa. Ramanujan scopr\u00ec che $e^{\\pi \\sqrt{163}} = 262\\,537\\,412\\,640\\,768\\,743.999\\,999\\,999\\,999\\,25\\ldots\\approx 640320^3+744$. (Martin Gardner, come pesce d&#8217;aprile, nel 1975 scrisse che era un intero). Niente male, vero?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>quasi sempre, purtroppo<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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