{"id":29041,"date":"2024-06-05T20:51:38","date_gmt":"2024-06-05T18:51:38","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=29041"},"modified":"2024-06-04T20:36:35","modified_gmt":"2024-06-04T18:36:35","slug":"la-serie-di-kempner","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/06\/05\/la-serie-di-kempner\/","title":{"rendered":"La serie di Kempner"},"content":{"rendered":"

\"la<\/a> Immagino conosciate tutti la serie armonica, cio\u00e8 la somma degli inversi dei numeri naturali: $ 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} + \\cdots $. Immagino anche sappiate che la serie diverge, come gi\u00e0 sapeva Oresme nel medioevo: basta raggruppare $ \\frac{1}{3} + \\frac{1}{4} $, $\\frac{1}{5} + \\frac{1}{6} + \\frac{1}{7} + \\frac{1}{8}$,
\n$\\frac{1}{9} + \\frac{1}{10} + \\cdots + \\frac{1}{16}$ e cos\u00ec via, e notare che la somma di ogni raggruppamento \u00e8 maggiore di 1\/2. Per i curiosi, come si pu\u00f2 intuire dalla figura qui a fianco, il valore parziale della serie armonica da 1 a $n$ si pu\u00f2 approssimare con $\\textrm{ln}\\; n$, cio\u00e8 con il logaritmo naturale. (E addirittura l’errore tende alla costante di Eulero-Mascheroni<\/a> $\\gamma$).<\/p>\n

Chiamiamo ora diabolico un numero che contiene al suo interno la successione 666, e sommiamo gli inversi di tutti i numeri che non sono diabolici. Bene: questa somma invece converge<\/a>. Quello che forse non \u00e8 noto a tutti \u00e8 infatti che se si eliminano dalla somma tutti i numeri che contengono una certa cifra allora il risultato \u00e8 finito. La cosa fu scoperta da A. J. Kempner nel 1914, e le serie cos\u00ec costruite si chiamano serie di Kempner<\/a>, appunto. La dimostrazione che quelle successioni sono finite ricorda un po’ quella di Oresme che abbiamo visto sopra. Togliamo per esempio tutti i numeri che contengono il 9. Dato un numero naturale $n$, i numeri di $n$ cifre che non contengono il 9 sono $8 \u22c5 9^{n\u22121}$, poich\u00e9 ci sono 8 scelte possibili (da 1 a 8) per la prima cifra, e 9 scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre $n\u22121$. Ma ciascuno di questi numeri senza 9 \u00e8 maggiore o uguale di $10^{n\u22121}$, quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci \u00e8 minore di $8(9\/10)^{n\u22121}$. Facendo la somma di tutti i contributi dati dai numeri di 1, 2, 3, … cifre si ottiene che la somma \u00e8 minore di 80. (Il valore effettivo \u00e8 circa 22,92067: diciamo che in questo caso la stima era molto grossolana.) Qualcuno potr\u00e0 lamentarsi perch\u00e9 la dimostrazione parla di numeri di una cifra che vengano tolti, e non di 666: ma il ragionamento qui sopra si pu\u00f2 fare con una qualunque base e una qualunque cifra in quella base tolta. Se lavoriamo in base 1000 e togliamo la “cifra” 666 otteniamo una serie che ha pi\u00f9 termini di quella che cerchiamo (per esempio conterr\u00e0 426660, visto che il numero si divide come 426-660) ma che comunque converge.<\/p>\n

Ah: pu\u00f2 sembrare incredibile, ma la somma degli inversi dei numeri primi invece diverge. Cresce in modo davvero lento: l’ordine di grandezza della somma dei primi $n$ primi \u00e8 $O(\\textrm{ln}\\; \\textrm{ln}\\;n)$, ma comunque diverge.<\/p>\n

(immagine di Baszoetekouw, da Wikimedia Commons<\/a>)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La serie armonica diverge cos\u00ec lentamente che non le si pu\u00f2 togliere troppa roba<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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