{"id":28725,"date":"2024-04-10T04:51:30","date_gmt":"2024-04-10T02:51:30","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=28725"},"modified":"2024-04-09T19:33:25","modified_gmt":"2024-04-09T17:33:25","slug":"come-calcolare-una-singola-cifra-decimale-di-pi-greco","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/04\/10\/come-calcolare-una-singola-cifra-decimale-di-pi-greco\/","title":{"rendered":"Come calcolare una singola cifra decimale di pi greco"},"content":{"rendered":"

\"\"
\nQuando ho scritto Chiamatemi pi greco<\/i><\/a>, ho mostrato una formula che permetteva di calcolare l’n<\/i>-sima cifra esadecimale della nostra costante preferita senza dovere calcolare quelle precedenti. Terminavo scrivendo<\/p>\n

Chiss\u00e0, magari in futuro qualcuno trover\u00e0 una formula simile in base 10\u2026 La cosa non \u00e8 impossibile, e per qualche altra costante matematica una formula di quel tipo esiste davvero, ma almeno per il momento non pare che ci siano buone notizie su quel fronte. <\/p><\/blockquote>\n

Le bozze del libro mi sono arrivate il 28 gennaio 2022. Il giorno dopo Simon Plouffe, uno degli scopritori della formula che avevo citato, ha pubblicato un preprint<\/a> dove ha mostrato una formula per trovare l’n<\/i>-sima cifra decimale di π. Come indovino ho ancora qualche margine di miglioramento…<\/p>\n

Potete vedere qui sotto (oltre che nella figura iniziale…) la formula in questione. Prima si definisce il numero <\/p>\n

$ \\pi_n = \\left( \\frac{2(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}B_{2n}(1-2^{-n})(1-3^{-n})(1-5^{-n})(1-7^{-n})} \\right)^{1\/(2n)} $<\/p>\n

e poi si calcola l’n<\/i>-sima cifra decimale di pi greco come <\/p>\n

$ d_n = \\textrm{int} ( 10 \\textrm{ frac} (10^{n-1} \\pi_{n-1})) $<\/p>\n

dove int() e frac() calcolano rispettivamente la parte intera e frazionaria di un numero. <\/p>\n

So che ve lo state chiedendo: i Bn<\/sub> sono i numeri di Bernoulli<\/a>. Plouffe spiega che a partire dal decimo numero di Bernoulli l’approssimazione <\/p>\n

$ \\pi \\approx \\left( \\frac{2n!}{B_n2^n} \\right )^{1\/n} $<\/p>\n

per n<\/i> pari \u00e8 molto precisa. (Se n<\/i> \u00e8 dispari i numeri di Bernoulli tranne il primo valgono tutti zero, quindi non funzionano). Preso per esempio $ n = 1000 $, l’errore che si commette \u00e8 minore di $ 2^{-1000} $. I prodotti che vedete a denominatore arrivano infine dall’approssimazione della zeta di Riemann, scritta come produttoria infinita usando la formula di Eulero. \u00c8 noto (l’ha dimostrato Eulero) che $ \\zeta(2n) $ \u00e8 un multiplo razionale di $ \\pi^{2n} $; sostituendo il valore e prendendo i primi quattro valori della produttoria si arriva al risultato mostrato in cima.<\/p>\n

Tutto bello, in teoria: peccato che la formula richieda di computare i numeri di Bernoulli, e per farlo in genere si usano formule che partono da un’espressione con pi greco. Insomma questo risultato \u00e8 carino, ma assolutamente inutile in pratica!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

S\u00ec, si pu\u00f2 fare anche quello<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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