{"id":28684,"date":"2024-04-03T04:51:10","date_gmt":"2024-04-03T02:51:10","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=28684"},"modified":"2024-04-01T17:44:23","modified_gmt":"2024-04-01T15:44:23","slug":"%cf%80%cf%80%cf%80%cf%80-e-un-numero-naturale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/04\/03\/%cf%80%cf%80%cf%80%cf%80-e-un-numero-naturale\/","title":{"rendered":"\u03c0^(\u03c0^(\u03c0^\u03c0))) \u00e8 un numero naturale?"},"content":{"rendered":"

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\nNel 2013 Dan Piponi, attualmente capo matematico di Epic Games, post\u00f2 questo tweet<\/a>, come ((molto) difficile) problema del giorno: dimostrare che $ \u03c0^{\u03c0^{\u03c0^\u03c0}} $ non \u00e8 un numero naturale. Chiunque sa un po’ di matematica sarebbe pronto a scommettere che non lo \u00e8. Chiunque sa abbastanza<\/i> matematica sa che non riuscir\u00e0 a scoprirlo nel corso della sua vita.
\nCome pu\u00f2 essere possibile, vi chiederete? Basta calcolare alcune cifre decimali del risultato, e si vede subito se non sono nulle. Peccato che, come potete leggere in questo articolo di Scientific American<\/a>, le cose non siano tanto semplici. <\/p>\n

Innanzitutto \u00e8 possibile che una catena di esponenziali di questo tipo dia effettivamente un risultato che \u00e8 un numero naturale. Per esempio, $ ( \\sqrt{2} ^ \\sqrt{2})^{\\sqrt{2}} = \\sqrt{2} ^ {\\sqrt{2} \\times \\sqrt{2}} = \\sqrt{2} ^2 = 2$. In linea di principio insomma non ci sono problemi. Il guaio \u00e8 che i numeri in gioco, anche se non sembra, sono enormi. Quanto vale quel numero? Secondo le regole della matematica, bisogna calcolarlo dall’alto verso il basso. Partiamo quindi con $ \u03c0^\u03c0 \\approx $ 36,46. Se eleviamo pi greco a questo numero, otteniamo circa 1.34… x 1018<\/sup>, un numero dell’ordine del trilione (in italiano) o quintilione (nell’uso anglosassone). E dobbiamo ancora elevare pi greco a questo valore! Il risultato finale ha quasi 1018<\/sup> cifre: per dare un’idea, noi conosciamo solo poco pi\u00f9 di 1014<\/sup> cifre decimali di pi greco, quindi siamo ben lontani dal riuscire anche solo ad avvicinarsi al calcolo. Tre anni fa Matt Parker ha fatto un video<\/a> dove stima che ci vorrebbe almeno il doppio di cifre decimali note solo per calcolare la prima cifra decimale di quel valore, con il rischio che non basti nemmeno… (Come dice Timothy Gowers, se la catena fosse di soli tre esponenziali ce la potremmo ancora fare). Ed essendo pi greco un numero con infinite cifre dopo la virgola, non possiamo nemmeno pensare a qualche trucco per trovare solo le ultime cifre, come potremmo per esempio fare per scoprire quali sono le ultime due cifre di 1000000!<\/p>\n

Vabb\u00e8, c’\u00e8 sempre la possibilit\u00e0 di mettere in campo le armi teoriche della matematica e dimostrarlo in modo non numerico. O no? No. In teoria dei numeri \u00e8 facile fare congetture: esiste per esempio la congettura di Schanuel<\/a>, di cui \u00e8 gi\u00e0 difficile da comprendere il testo, che tra le tante cose dimostrerebbe che $ \u03c0^{\u03c0^{\u03c0^\u03c0}} $ \u00e8 trascendente e quindi non pu\u00f2 essere un numero naturale. Solo che nessuno ha nemmeno idea di dove iniziare a partire per dimostrare la congettura… Insomma, possiamo magn\u00e0 tranquilli, non dovr\u00f2 aggiornare il post per dire che il problema \u00e8 stato risolto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

quasi certamente no, ma nessuno lo sa dimostrare, e probabilmente nessuno lo sapr\u00e0 per secoli<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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