{"id":28332,"date":"2024-03-06T04:51:01","date_gmt":"2024-03-06T03:51:01","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=28332"},"modified":"2024-03-06T17:53:28","modified_gmt":"2024-03-06T16:53:28","slug":"le-antiparallele","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/03\/06\/le-antiparallele\/","title":{"rendered":"Le antiparallele"},"content":{"rendered":"

Sono sicuro che vi ricordate tutti dai tempi della scuola che se prendete un triangolo e costruite la parallela a un lato in modo che essa tagli gli altri due lati, otterrete un triangolo pi\u00f9 piccolo che \u00e8 simile a quello di partenza. Quello che probabilmente non sapete (e non sapevo nemmeno io fino a poco tempo fa) \u00e8 che \u00e8 possibile disegnare un’altra retta che taglia il triangolo originario e ci d\u00e0 un triangolo simile a quello di partenza. Dove sta il trucco? Semplice: si scambiano tra di loro i due angoli alla base!
\n\"PQ<\/a>
\nNella figura qui sopra potete vedere un esempio di questa retta, che prende con parecchia fantasia il nome di antiparallela<\/b>. Pat Ballew, da cui ho preso le informazioni per questo post<\/a>, dice che Apollonio aveva gi\u00e0 studiato questa retta, ma le aveva chiamata “subcontraria”.<\/p>\n

Come si pu\u00f2 costruire un’antiparallela? Ci sono vari modi: io ne mostro un paio. Nel primo si traccia la bisettrice AM del triangolo BAC, si sceglie un punto O in essa e si costruisce una retta per O che faccia con la bisettrice un angolo uguale a BMA: come si vede dalla figura, i triangoli ABM e AOP sono simili. Il secondo modo \u00e8 forse pi\u00f9 semplice, e sicuramente lo \u00e8 con Geogebra: si prende un punto P sul lato AC e si costruisce la circonferenza per B, C, P. Se questa circonferenza incontra il lato AB in un punto Q, PQ \u00e8 l’antiparallela cercata. Come mai? Semplice. Il quadrilatero BCPQ \u00e8 per costruzione ciclico (cio\u00e8 inscritto in una circonferenza), e quindi i suoi angoli opposti CBQ e QPC sono supplementari. Ma anche APQ e QPC sono supplementari, pertanto CBQ = APQ, come volevasi dimostrare.<\/p>\n

\"costruzione<\/a> \"altra<\/a><\/p>\n

A questo punto dovrebbe essere intuitivo che se prendiamo un cono non retto (dove cio\u00e8 l’asse non \u00e8 ortogonale alla base) esistono due piani che tagliando il cono danno una circonferenza: quello parallelo alla base e quello che forma delle antiparallele. Questi esempi sono forse un po’ forzati; ma esiste un caso in cui le antiparallele arrivano spontaneamente. In un triangolo acutangolo, il triangolo ortico<\/a> \u00e8 quello che ha come vertici i piedi delle altezze del triangolo stesso. (Se il triangolo non fosse acutangolo il triangolo ortico finirebbe fuori da quello di partenza). Giovanni Fagnano dimostr\u00f2 nel 1775 che esso \u00e8 il triangolo inscritto di perimetro minore; ma quello che importa a noi \u00e8 che il triangolo ortico \u00e8 formato da tre antiparallele! Per vederlo (grazie a Roberto Zanasi per la dimostrazione…) basta notare che sia il triangolo BTC che il triangolo BSC sono rettangoli, e quindi inscritti in una semicirconferenza di diametro BC; pertanto BTSC \u00e8 un quadrilatero ciclico, e per quello che abbiamo visto sopra l’angolo TBC \u00e8 congruente a AST. Notevole, vero?<\/p>\n

\"il<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una curiosit\u00e0 geometrica<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[976,214],"tags":[],"class_list":["post-28332","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2024","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-7mY","jetpack-related-posts":[{"id":16088,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2018\/01\/28\/quizzino-della-domenica-triangolo-nel-triangolo\/","url_meta":{"origin":28332,"position":0},"title":"Quizzino della domenica: Triangolo nel triangolo","author":".mau.","date":"2018-01-28","format":false,"excerpt":"Nella figura qui sotto abbiamo un triangolo equilatero al cui interno \u00e8 disegnato un altro triangolo che ha un vertice in comune con quello di partenza e gli altri due nel punto medio di due lati (non entrambi passanti da quel vertice). Qual \u00e8 la sua area relativa a quella\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/01\/q298a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":16303,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2018\/02\/18\/quizzino-della-domenica-triangoli\/","url_meta":{"origin":28332,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: triangoli diversi","author":".mau.","date":"2018-02-18","format":false,"excerpt":"Dato un triangolo equilatero, non \u00e8 troppo difficile dividerlo in tre triangoli uguali: basta ispirarsi al logo della Mercedes, come mostrato nella figura qui sotto. Siete per\u00f2 capaci di dividerlo in tre triangoli simili ma non congruenti? (un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http:\/\/xmau.com\/quizzini\/p301.html; la risposta verr\u00e0\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/02\/q301a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":22567,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2021\/08\/01\/quizzino-della-domenica-due-triangoli\/","url_meta":{"origin":28332,"position":2},"title":"Quizzino della domenica: due triangoli","author":".mau.","date":"2021-08-01","format":false,"excerpt":"Nel triangolo equilatero ABC, il lato AC \u00e8 diviso in tre parti uguali AD, DE, EC. La perpendicolare ad AC che passa per D incrocia il lato AB in un punto F. Qual \u00e8 l'area del triangolo CDF rispetto a quella del triangolo ABC? (trovate un aiutino sul mio sito,\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"[la figura]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2021\/08\/q530a.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":25062,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2022\/10\/30\/quizzino-della-domenica-diimezza-triangolo\/","url_meta":{"origin":28332,"position":3},"title":"Quizzino della domenica: Dimezza il triangolo","author":".mau.","date":"2022-10-30","format":false,"excerpt":"Abbiamo due triangoli rettangoli isosceli di cartoncino A e B come in figura, con A strettamente maggiore di B. I due triangoli possono essere sovrapposti, ma non \u00e8 possibile segnarli in nessun modo. Come si pu\u00f2 trovare il punto medio dell'ipotenusa di B? (trovate un aiutino sul mio sito, alla\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"i due triangoli","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2022\/10\/q615a.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":30282,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/01\/05\/quizzino-della-domenica-raddoppia-i-triangoli\/","url_meta":{"origin":28332,"position":4},"title":"Quizzino della domenica: raddoppia i triangoli","author":".mau.","date":"2025-01-05","format":false,"excerpt":"729 - geometria Una stella a cinque punte come quella mostrata in figura contiene cinque triangoli (nel contesto di questo gioco non si considerano i triangoli con una o pi\u00f9 linee al loro interno). Aggiungete due rette alla figura e ottenete dieci triangoli. (trovate un aiutino sul mio sito, alla\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"la stella a cinque punte","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/01\/q729a.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":23147,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2021\/11\/21\/quizzino-della-domenica-pentacolo-e-triangoli\/","url_meta":{"origin":28332,"position":5},"title":"Quizzino della domenica: Pentacolo e triangoli","author":".mau.","date":"2021-11-21","format":false,"excerpt":"Un pentacolo (una stella a cinque punte) contiene al suo interno cinque triangoli \"puri\", come si vede nella figura a sinistra. Per triangolo puro intendo un triangolo che non abbia nessun'altra riga al suo interno. Aggiungendo due segmenti come nella figura a destra possiamo arrivare a otto triangoli. Si pu\u00f2\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2021\/10\/q551a.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2021\/10\/q551a.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2021\/10\/q551a.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28332","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=28332"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28332\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":28493,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28332\/revisions\/28493"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=28332"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=28332"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=28332"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}