{"id":27942,"date":"2023-12-22T04:51:02","date_gmt":"2023-12-22T03:51:02","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=27942"},"modified":"2023-12-20T17:07:59","modified_gmt":"2023-12-20T16:07:59","slug":"assiomi-buttati-a-caso","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/12\/22\/assiomi-buttati-a-caso\/","title":{"rendered":"Assiomi buttati a caso"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>
\nQuando andavo a scuola io, gli assiomi della geometria euclidea erano quelli di Euclide, e non si scappava. Si sapeva da decenni che Euclide aveva dimenticato qualcosa, e che Hilbert aveva aggiunto altri assiomi impliciti come quello di Pasch, costruendo cos\u00ec un nuovo e pi\u00f9 corretto sistema di assiomi<\/a>; ma si faceva finta di niente. Quindi a noi insegnavano che un segmento poteva essere prolungato a piacere da ambo i lati, e buona l\u00ec. (Occhei, quelli meno attenti alla verit\u00e0 storica dicevano “la retta \u00e8 infinita”, ma non stiamo a disquisire sulle parole.)<\/p>\n

Ora le cose sono cambiate, e gli assiomi di ordinamento a quanto pare entrano anche nel libro di matematica per la prima liceo artistico che Cecilia sta frequentando. Cos\u00ec a pagina 507 mi trovo un testo che dice \u00abI punti di una retta possono essere ordinati in modo che […] b. dato un punto P, esistono sempre due punti A e B, tali che A precede P e P precede B.\u00bb Fin qui nulla da eccepire. Poi per\u00f2 mi trovo anche la nota \u00abIl punto b. dell\u2019assioma ci dice che una retta orientata pu\u00f2 essere prolungata illimitatamente sia nel verso fissato sia in quello opposto.\u00bb e qua eccepisco. <\/p>\n

Prendiamo un modello dove i punti sono punti, il “piano” \u00e8 un cerchio senza la circonferenza che lo racchiude e le rette sono corde di questo cerchio. Evidentemente non abbiamo un piano come ce lo aspetteremmo dalla geometria euclidea: eppure esso rispetta il punto b. qui sopra, come \u00e8 facile vedere prendendo i punti a met\u00e0 tra P e i due estremi. Naturalmente la cosa era ben chiara a Hilbert, che tra i suoi assiomi aggiunge quello di Archimede che ha il doppio vantaggio di assicurare la continuit\u00e0 della retta da un lato ma anche di poter avere una retta lunga a piacere dall’altro; altrimenti ci troviamo nella situazione di Achille e tartaruga, dove si pu\u00f2 sempre trovare un punto pi\u00f9 in l\u00e0 ma non si arriva mai alla meta. Ed effettivamente gli autori una decina di pagine dopo aggiungono quasi come post scriptum l’assioma di continuit\u00e0 con una formulazione corretta (\u00abComunque fissati un segmento (non nullo) u come unit\u00e0 di misura e un numero reale positivo k, esiste un segmento la cui misura rispetto a u \u00e8 il numero k.\u00bb), ma vedendolo appunto solo come continuit\u00e0 e non come illimitatezza. <\/p>\n

Insomma, se non si metteva la parolina “illimitatamente” nella nota e la si portava assieme all’assioma di continuit\u00e0 non si sarebbe fatto male nessuno. Quello che posso immaginare \u00e8 che qualcuno completando il libro si sia fatto prendere la mano. Ma a me resta un dubbio. Io non userei gli assiomi di Hilbert nemmeno al liceo scientifico e al pi\u00f9 accennerei alla loro esistenza. Non parliamo dell’artistico. Perch\u00e9 si vogliono complicare cos\u00ec le cose?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

E pensavate che Euclide non se ne sarebbe 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