{"id":27882,"date":"2023-12-13T04:51:34","date_gmt":"2023-12-13T03:51:34","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=27882"},"modified":"2025-07-27T22:42:45","modified_gmt":"2025-07-27T20:42:45","slug":"la-base-fattoradicale-ii","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/12\/13\/la-base-fattoradicale-ii\/","title":{"rendered":"La base fattoradicale (II)"},"content":{"rendered":"<p><figure id=\"attachment_27883\" aria-describedby=\"caption-attachment-27883\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignleft\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/12\/Symmetric_group_4_permutohedron_3D_Lehmer_codes.svg_.png?ssl=1\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/12\/Symmetric_group_4_permutohedron_3D_Lehmer_codes.svg_.png?resize=300%2C300&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"size-medium wp-image-27883\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/12\/Symmetric_group_4_permutohedron_3D_Lehmer_codes.svg_.png?resize=300%2C300&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/12\/Symmetric_group_4_permutohedron_3D_Lehmer_codes.svg_.png?resize=200%2C200&amp;ssl=1 200w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/12\/Symmetric_group_4_permutohedron_3D_Lehmer_codes.svg_.png?resize=624%2C624&amp;ssl=1 624w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/12\/Symmetric_group_4_permutohedron_3D_Lehmer_codes.svg_.png?w=768&amp;ssl=1 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-27883\" class=\"wp-caption-text\">permutazioni di quattro elementi come codice di Lehmer<\/figcaption><\/figure> La settimana scorsa abbiamo visto come si scrive <a href=\"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/12\/06\/la-base-fattoradicale-i\/\">la base fattoradicale<\/a>. Un paio dei miei ventun lettori si \u00e8 chiesto come mai si usa anche la posizione relativa a 0!, che tanto \u00e8 sempre 0 e quindi non porta informazione. In effetti potete trovare anche la rappresentazione senza questa cifra; ma ho preferito lasciarla per poter ampliare il conto ai numeri frazionari. L&#8217;estensione ha comunque qualche problema, perch\u00e9 (-1)!, (-2)! e cos\u00ec via non sono definiti; quello che si fa in pratica \u00e8 usare gli inversi dei fattoriali, 1\/1, 1\/2, 1\/6, 1\/24, &#8230;, 1\/<i>n<\/i>!, &#8230;; chiaramente anche la prima cifra dopo la virgola \u00e8 sempre zero, e quindi se avete proprio bisogno di spazio potete toglierla insieme alla cifra immediatamente a sinistra. Basta che avvisiate. Gi\u00e0 che ci sono, aggiungo un&#8217;altra notazione: come potete immaginare, numeri molto grandi (o numeri frazionari molto lunghi) possono usare cifre maggiori di 10. Per evitare di inventare simboli, si possono usare i numeri in base 10 e separare le &#8220;cifre&#8221; con un &#8220;:&#8221;; pertanto 2441010<sub>!<\/sub> si pu\u00f2 anche scrivere come 2:4:4:1:0:1:0<sub>!<\/sub>.<\/p>\n<p>La conversione in base fattoradicale permette anche di numerare in ordine intelligente le permutazioni di <i>n<\/i> elementi. Qual \u00e8 per esempio la 2023-ma permutazione di sette elementi? Scriviamo gli elementi come {0,1,2,3,4,5,6} e leggiamo da sinistra a destra 2441010<sub>!<\/sub>. La prima cifra \u00e8 un 2; contiamo fino a due (partendo da zero, qui siamo informatici pi\u00f9 che matematici) e tiriamo fuori il numero trovato, che \u00e8 2. I nostri elementi restano quindi {0,1,3,4,5,6}. Proseguiamo in questo modo: dalla nuova lista contiamo da 0 a 4, troviamo 5 e lasciamo {0,1,3,4,6}; poi prendiamo 6 e lasciamo {0,1,3,4}, prendiamo 1 e lasciamo {0,3,4}, prendiamo 0 e lasciamo {3,4}, prendiamo 4 e lasciamo {3} e infine prendiamo 3. (Visto che avere la posizione zero pu\u00f2 servire?). Mettendo insieme i numeri otteniamo la permutazione {2,5,6,1,0,4,3). L&#8217;unicit\u00e0 della rappresentazione fattoradicale ci assicura che in questo modo troveremo tutte e sole le permutazioni possibili. <\/p>\n<p>Un altro esempio di uso dei numeri fattoradicali (stavolta senza la cifra finale) \u00e8 dato dai codici di Lehmer; come vedete <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Factorial_number_system#Examples\">nella pagina di Wikipedia relativa<\/a>, questi codici tanto per cambiare codificano le permutazioni di <i>n<\/i> elementi, ma questa volta lo fanno per mezzo delle inversioni, cio\u00e8 gli scambi di due elementi. Se date un&#8217;occhiata alla tabella, le colonne <i>l<\/i>e <i>r<\/i> consistono proprio nei numeri fattoradicali scritti da destra a sinistra, e la somma delle &#8220;cifre&#8221; \u00e8 proprio il numero di inversioni necessarie per partire dalla permutazione di base {1,2,3,4} per arrivare a quella voluta.<\/p>\n<p>Evelyn Lamb <a href=\"http:\/\/www.evelynjlamb.com\/its-factoradical\/\">afferma<\/a> che questo pu\u00f2 servire anche per il problema dei bagni chimici ai festival musicali britannici, come da <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ZWib5olGbQ0\">video di Numberphile<\/a>; a me non sembra, ma tant&#8217;\u00e8. Ad ogni modo, buon divertimento!<\/p>\n<p><small>(figura di Tilman Piesk da <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Symmetric_group_4;_permutohedron_3D;_Lehmer_codes.svg\">Wikimedia Commons<\/a>, CC-BY-SA 3.0)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>qualche uso pratico (vabb\u00e8&#8230;) delle basi fattoradicali<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-27882","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-7fI","jetpack-related-posts":[{"id":9295,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2013\/04\/19\/unione_europea\/","url_meta":{"origin":27882,"position":0},"title":"Unione Europea","author":".mau.","date":"2013-04-19","format":false,"excerpt":"le tariffe postali...","rel":"","context":"In &quot;pipponi&quot;","block_context":{"text":"pipponi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/pipponi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":32682,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/06\/04\/quaternioni-che-non-ce-lhanno-fatta\/","url_meta":{"origin":27882,"position":1},"title":"Quaternioni che non ce l&#8217;hanno fatta","author":".mau.","date":"2025-06-04","format":false,"excerpt":"I quaternioni sono un'estensione dei numeri complessi, ideata da William Rowan Hamilton che voleva estendere alla terza dimensione le operazioni geometriche permesse sul piano dall'introduzione dei numeri complessi: dopo lunghi e infruttuosi tentativi di aggiungere una nuova unit\u00e0 immaginaria che rappresentasse l'asse z, il 16 ottobre 1843 ebbe l'idea risolutiva\u2026","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"tabella moltiplicativa per i quaternioni","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/06\/quaternioni.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":3674,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2005\/08\/14\/_finita-2\/","url_meta":{"origin":27882,"position":2},"title":"\u00e8 finita!","author":".mau.","date":"2005-08-14","format":false,"excerpt":"partiamo per le ferie [...]","rel":"","context":"In &quot;y2005_io&quot;","block_context":{"text":"y2005_io","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/y2005_io\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":27832,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/12\/06\/la-base-fattoradicale-i\/","url_meta":{"origin":27882,"position":3},"title":"La base fattoradicale (I)","author":".mau.","date":"2023-12-06","format":false,"excerpt":"Una base numerica molto particolare","rel":"","context":"In &quot;matematica_light&quot;","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"si pu\u00f2 anche andare oltre","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/12\/factorial_numbers-300x230.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":3971,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2006\/02\/23\/campanilismo\/","url_meta":{"origin":27882,"position":4},"title":"campanilismo","author":".mau.","date":"2006-02-23","format":false,"excerpt":"A Milano \u00e8 vietato mostrare qualche esempio di Torino.","rel":"","context":"In &quot;trasporti&quot;","block_context":{"text":"trasporti","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/trasporti\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":6654,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/12\/21\/terne_pitagoric_1\/","url_meta":{"origin":27882,"position":5},"title":"Terne pitagoriche\/2","author":".mau.","date":"2008-12-21","format":false,"excerpt":"le dimostrazioni dei teoremi enunciati l'altra volta","rel":"","context":"In &quot;matematica_light&quot;","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/27882","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=27882"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/27882\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":33220,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/27882\/revisions\/33220"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=27882"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=27882"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=27882"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}