{"id":27832,"date":"2023-12-06T04:51:52","date_gmt":"2023-12-06T03:51:52","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=27832"},"modified":"2024-12-17T16:40:27","modified_gmt":"2024-12-17T15:40:27","slug":"la-base-fattoradicale-i","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/12\/06\/la-base-fattoradicale-i\/","title":{"rendered":"La base fattoradicale (I)"},"content":{"rendered":"

\"siSe vi dicessi che ho scritto l’anno 2023 in una certa base e mi \u00e8 venuto fuori 2441010, mentre il 2024 si rappresenta come 2441100, riuscireste a indovinare la base? Probabilmente no, a meno che non abbiate visto e studiato la vignetta qui a fianco. Ho infatti scritto i numeri in base fattoradicale<\/a>; un modo indubbiamente fantasioso, come vedremo. La base fattoradicale \u00e8 un sistema a base mista: le posizioni da destra a sinistra corrispondono ai multipli dei successivi numeri fattoriali, con la regola aggiuntiva ma logica che non \u00e8 possibile che nella posizione $n$ da destra non si possa usare un coefficiente maggiore di $n$; a differenza delle usuali basi numeriche si pu\u00f2 per\u00f2 usare $n$. (Ricordo che $n! = 1 \\cdot 2 \\cdot \\ldots \\cdot n$; per convenzione 0! = 1, ma nel nostro caso tutti i numeri naturali in base fattoradicale finiscono per 0). Pertanto $2441010_{!} = 2(6!)+4(5!)+4(4!)+1(3!)+0(2!)+1(1!)+0(0!)$, il che in effetti non \u00e8 molto semplice da leggere. Come in genere si scrive $2023_{10}$ per dire che il numero \u00e8 in base 10, per la base fattoradicale si usa un punto esclamativo come pedice.<\/p>\n

Non \u00e8 difficile dimostrare che ogni numero naturale si pu\u00f2 scrivere in un solo modo in base fattoradicale; il trucco \u00e8 notare che quando il coefficiente relativo alla posizione $n$ arriva a $n+1$ abbiamo esattamente $(n+1)!$ e quindi possiamo fare il riporto esattamente come nelle basi di numerazione usuali; l’unica differenza \u00e8 che il riporto cambia a ogni nuova posizione, invece che arrivare allo stesso valore. Non \u00e8 nemmeno troppo difficile convertire un numero dalla base 10, o se per questo da qualunque base fissa, alla base fattoradicale. La cifra pi\u00f9 a destra, come dicevo sopra, \u00e8 sempre 0; poi si comincia a dividere il numero per 2, 3, 4… e il resto della divisione \u00e8 la cifra da aggiungere man mano a sinistra. Abbiamo cos\u00ec
\n$$
\n\\begin{array}{c c c}
\n (2023\/1 & = 2023) & 0 \\\\\\hline
\n 2023\/2 & = 1011 & 1 \\\\\\hline
\n 1011\/3 & = 337 & 0 \\\\\\hline
\n 337\/4 & = 84 & 1 \\\\\\hline
\n 84\/5 & = 16 & 4 \\\\\\hline
\n 16\/6 & = 2 & 4 \\\\\\hline
\n 2\/7 & = 0 & 2
\n\\end{array}
\n$$<\/p>\n

Ma a che serve scrivere un numero in fattoradicale, considerando che come dice xkcd se superi la posizione corrispondente a 9! devi inventarti dei nuovi simboli? Per esempio per un trucco di magia matematica, come racconta Tom Edgar<\/a>. Mischiate un mazzo di carte, chiedete a un membro del pubblico di prendere un mazzetto di 24 carte e sceglierne una mentre non guardate, e di mischiare di nuovo il mazzatto. A questo punto vi girate verso il pubblico e chiedete a una seconda persona di dire qual \u00e8 il numero che preferisce tra 1 e 24. Prendete il mazzetto e fate due file di 12 carte alternando da una fila all’altra, e chiedete alla prima persona in quale fila si trova la carta da lui scelta. Mettete una fila sopra l’altra e fate stavolta tre file di 8 carte, chiedendo sempre dove si trova la carta scelta; infine fate quattro file di sei carte e chiedete ancora una volta dove si trova la carta scelta. Prendete le carte, rimettetele insieme e cominciate a girarle: la carta prescelta dalla prima persona sar\u00e0 esattamente nella posizione corrispondente al numero detto dalla seconda persona! <\/p>\n

Come \u00e8 possibile? Potete facilmente immaginare che il trucco sia legato alla base fattoradicale. In effetti i numeri da 0 a 23 possono essere scritti con al massimo quattro cifre fattoradicali, dove l’ultima \u00e8 sempre 0 e possiamo toglierla. Se ora per esempio il secondo membro del pubblico ha scelto il numero 14, togliamo 1 e otteniamo 13, cio\u00e8 $2010_{!}$. Tolto lo zero di destra, le cifre da destra a sinistra sono 1, 0, 2; sommiamo a ciascuna 1 e otteniamo 2, 1, 3. Questo vuol dire che dopo la prima fase il mazzetto con la carta scelta deve essere messo in seconda posizione, dopo la seconda fase il nuovo mazzetto deve stare in prima posizione e dopo la terza fase in terza posizione. Abbiamo in pratica scritto il numero prescelto in base fattoradicale, e se contiamo a una a una le carte lo troviamo. Con un po’ di allenamento e di memoria per calcolare a mente la conversione in base fattoradicale il gioco riesce facilmente: e non avere un numero prefissato di file a ogni passo rende pi\u00f9 difficile scoprire il trucco.<\/p>\n

Ma c’\u00e8 qualche propriet\u00e0 pi\u00f9 utile dei numeri in base fattoradicale? Lo vedremo la prossima volta! (no, quello non \u00e8 un simbolo di fattoriale)<\/p>\n

(immagine di xkcd<\/a>, CC-BY-NC 2.5)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una base numerica molto particolare<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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