{"id":27765,"date":"2023-11-22T04:51:40","date_gmt":"2023-11-22T03:51:40","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=27765"},"modified":"2024-01-06T17:20:12","modified_gmt":"2024-01-06T16:20:12","slug":"media-quadratica-ed-eroniana","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/11\/22\/media-quadratica-ed-eroniana\/","title":{"rendered":"Media quadratica ed eroniana"},"content":{"rendered":"<p><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/QM_AM_GM_HM.png?resize=512%2C384&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"512\" height=\"384\" class=\"aligncenter size-full wp-image-27767\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/QM_AM_GM_HM.png?w=512&amp;ssl=1 512w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/QM_AM_GM_HM.png?resize=300%2C225&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 512px) 100vw, 512px\" \/><br \/>\nTutti conosciamo la media aritmetica: presi due numeri, la loro media aritmetica \u00e8 la met\u00e0 della loro somma, o se preferite il numero che \u00e8 alla stessa distanza dai due di partenza: dunque $ M_A(x,y) = \\frac{x+y}{2} $ . <\/p>\n<p>Quasi tutti conosciamo la media geometrica: presi due numeri, la loro media geometrica \u00e8 la radice quadrata del loro prodotto, o se preferite il numero che \u00e8 il lato di un quadrato della stessa superficie di un rettangolo di lati i due numeri. Dunque $ M_G(x,y) = \\sqrt{xy} $. \u00c8 facile dimostrare che la media geometrica di due numeri positivi \u00e8 sempre inferiore o uguale alla loro media aritmetica, ed \u00e8 uguale se e solo se i due numeri sono uguali: per confrontare $ \\frac{x+y}{2} $ e $ \\sqrt{xy} $ basta prima raddoppiarli e poi elevarli al quadrato.<\/p>\n<p>Alcuni conoscono anche la media armonica: presi due numeri, la loro media armonica \u00e8 l&#8217;inverso della media aritmetica dei loro inversi, o se preferite la velocit\u00e0 media complessiva di due tratti uguali di strada percorsi a due diverse velocit\u00e0. M<sub>H<\/sub> (<i>x<\/i>, <i>y<\/i>) = 2<i>x<\/i><i>y<\/i>\/(<i>x<\/i>+<i>y<\/i>). La media armonica \u00e8 ovviamente musicale: se fate la media di due note do a un&#8217;ottava di distanza ottenete un fa. Se si conosce il trucco, \u00e8 facile dimostrare che la media armonica di due numeri positivi \u00e8 sempre inferiore o uguale alla loro media geometrica, ed \u00e8 uguale se e solo se i due numeri sono uguali: sappiamo da sopra che $ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{y} \\geq \\sqrt{\\frac{1}{x} \\frac{1}{y}} $; se prendiamo gli inversi dei due membri, ricordandoci che la diseguaglianza cambia di verso, otteniamo il risultato.<\/p>\n<p>La figura all&#8217;inizio del post d\u00e0 una dimostrazione &#8220;visiva&#8221; di queste medie, e trovate anche disegnata la &#8220;media quadratica&#8221;, che \u00e8 data da $ \\sqrt{\\frac{x^2 + y^2){2}}. Se avete studiato ingegneria, questa formula dovrebbe esservi nota, perch\u00e9 \u00e8 il <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Valore_efficace\">&#8220;valore efficace&#8221;<\/a>. Per la cronaca, la media quadratica di due numeri positivi \u00e8 sempre maggiore o uguale della media aritmetica, ed \u00e8 uguale se e solo i due numeri sono uguali; per dimostrarlo si usa la <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Disuguaglianza_di_Cauchy-Schwarz\">disuguaglianza di Cauchy-Schwarz<\/a>.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/tronco-piramide.png?ssl=1\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/tronco-piramide.png?resize=300%2C243&#038;ssl=1\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"243\" class=\"alignright size-medium wp-image-27766\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/tronco-piramide.png?resize=300%2C243&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/tronco-piramide.png?w=592&amp;ssl=1 592w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a> Ma tra le tantissime medie che esistono ce n&#8217;\u00e8 una che probabilmente vi \u00e8 sconosciuta (lo era anche a me, prima di scrivere questo post): la <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Heronian_mean\">media eroniana<\/a> M<sub>E<\/sub>. Essa si ottiene come media pesata di quella aritmetica, presa per due terzi, e di quella geometrica, presa per un terzo. Abbiamo dunque $ M_E = \\frac{2}{3}\\frac{x+y}{2} + \\frac{1}{3}\\sqrt{xy} = \\frac{1}{3}(x + \\sqrt{xy} + y)$. Per costruzione \u00e8 chiaro che la media eroniana di due numeri positivi \u00e8 compresa tra quella aritmetica e quella geometrica. Erone \u00e8 stato probabilmente il pi\u00f9 grande geometra del periodo alessandrino; l&#8217;importanza di questa media &#8211; che si comporta come ogni media che si rispetti, nel senso che \u00e8 simmetrica e che se applicata a due valori uguali d\u00e0 quello stesso valore &#8211; \u00e8 che pu\u00f2 essere usata per calcolare il volume di un tronco di piramide a base quadrata, che \u00e8 dato dal prodotto della media eroniana delle basi per l&#8217;altezza. <\/p>\n<p>Un aneddoto: come dice la pagina di Wikipedia in inglese, quella formula era nota gi\u00e0 agli antichi egizi. Quando ero alle medie, mia avevano fatto costruire un modellino in cartoncino per una conferenza dove veniva fatta un&#8217;ipotesi su come gli egizi fossero arrivati alla formula. Insomma, \u00e8 vero che non la conoscevo con quel nome ma ho avuto a che fare con essa gi\u00e0 quasi cinquant&#8217;anni fa!<\/p>\n<p><small>(immagini da Wikimedia Commons: <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg\">QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg<\/a>, di CMG Lee, CC-BY-SA4.0, <a href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Square_frustum.png\">Square_frustum.png<\/a>, di MarinaVladivostok, CC0 1.0)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>non ne avevo mai sentito parlare, eppure alle medie l&#8217;avevo usata!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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