{"id":27711,"date":"2023-11-15T04:51:41","date_gmt":"2023-11-15T03:51:41","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=27711"},"modified":"2023-11-14T10:57:19","modified_gmt":"2023-11-14T09:57:19","slug":"il-paradosso-di-sierpinski-mazurkiewicz","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/11\/15\/il-paradosso-di-sierpinski-mazurkiewicz\/","title":{"rendered":"Il paradosso di Sierpinski-Mazurkiewicz"},"content":{"rendered":"<p><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/11\/banach-tarski.jpg?resize=172%2C245&#038;ssl=1\" alt=\"ma anche senza assioma della scelta...\" width=\"172\" height=\"245\" class=\"alignleft size-full wp-image-27712\" \/> Il paradosso di Banach-Tarski \u00e8 ben noto a chi ha studiato matematica. Quallo che succede \u00e8 che \u00e8 possibile tagliare una sfera in cinque parti secondo una certa regola, traslare questi &#8220;pezzi&#8221; che sono stati ottenuti, e ricavare <b>due<\/b> sfere identiche a quella di partenza. Dov&#8217;\u00e8 il trucco? Beh, ce ne sono almeno due. Il primo \u00e8 che i pezzi ottenuti sono una specie di polvere diffusa: tecnicamente si dice che non sono insiemi misurabili, e quindi non \u00e8 in realt\u00e0 fisicamente possibile crearli. Il secondo trucco \u00e8 che \u00e8 necessario usare l&#8217;assioma della scelta per poter creare questi pezzi; l&#8217;assioma della scelta \u00e8 una di quelle propriet\u00e0 che sembrano intuitive, ma che sfuggono a ogni tentativo di dimostrazione &#8211; non per nulla \u00e8 un assioma&#8230; &#8211; e soprattutto possono portare a paradossi, come si vede. Per\u00f2 esistono risultati simili che non richiedono l&#8217;assioma della scelta, come vedremo.<\/p>\n<p>Consideriamo il numero complesso <i>x<\/i> = <i>e<sup>i<\/sup><\/i>. S\u00ec, \u00e8 possibile elevare un numero a una potenza immaginaria, e il risultato \u00e8 ancora un numero complesso, nel nostro caso almeno <a href=\"https:\/\/www.wolframalpha.com\/input?i=e%5Ei\">secondo Wolfram Alpha<\/a> all&#8217;incirca 0,54030 + 0,84147 <i>i<\/i>. Quello che conta \u00e8 che per\u00f2 quel numero \u00e8 trascendente e quindi non \u00e8 la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. (Ok, io non saprei dimostrarlo, ma mi fido che sia cos\u00ec). Bene, prendiamo l&#8217;insieme <i>S<\/i> dei valori dei polinomi a coefficienti interi non negativi (per esempio, 5<i>x<\/i>&sup3; + 2<i>x<\/i> + 42) calcolati nel punto <i>x<\/i>. Ciascuno di questi valori corrisponde a un punto del piano complesso; tutti questi punti devono essere distinti, perch\u00e9 se due di questi polinomi avessero lo stesso valore allora la loro differenza varrebbe zero, il che \u00e8 assurdo per definizione perch\u00e9 <i>x<\/i> \u00e8 trascendente. Dividiamo ora <i>S<\/i> in due sottoinsiemi <i>A<\/i> e <i>B<\/i>, in questo modo: <i>A<\/i> contiene tutti e soli i polinomi di <i>S<\/i> che non hanno un termine costante, mentre <i>B<\/i> contiene tutti gli altri polinomi di <i>S<\/i>, vale a dire quelli che hanno un termine costante. \u00c8 chiaro che per costruzione <i>A<\/i> \u222a <i>b<\/i> = <i>S<\/i>. Cosa succede ora se ruotiamo di un radiante (cio\u00e8 di 1\/2&pi; di circonferenza) in senso orario l&#8217;insieme <i>A<\/i>? Eulero ci ha insegnato che questa rotazione \u00e8 la stessa cosa che moltiplicare per <i>e<sup>&minus;i<\/sup><\/i>, e l&#8217;algebra di scuola ci dice che questo \u00e8 la stessa cosa che dividere per <i>e<sup>i<\/sup><\/i>. Quindi otteniamo tutti i polinomi in <i>x<\/i> a coefficienti positivi, cio\u00e8 il nostro insieme <i>S<\/i>. E se invece spostiamo a sinistra di un&#8217;unit\u00e0 l&#8217;insieme <i>B<\/i>? Beh, otteniamo di nuovo tutti gli elementi di <i>S<\/i>, perch\u00e9 i termini costanti in <i>B<\/i> partono da 1 in su e se togliamo 1 otteniamo tutti i termini costanti da 0 in su. Dunque abbiamo costruito esplicitamente un insieme che pu\u00f2 essere diviso in due parti che traslate e ruotate formano due copie dello stesso insieme. Carino, no? Come dice il titolo, questo paradosso \u00e8 stato trovato da Sierpinski e Mazurkiewicz, due matematici polacchi. Non che <i>S<\/i> sia un insieme disegnabile: essendo costituito da un&#8217;infinit\u00e0 numerabile di punti discreti, la sua misura (generalizzazione del concetto di area che si usa in analisi) \u00e8 nulla.<\/p>\n<p>Se la cosa vi pare troppo complicata, eccovi un esempio pi\u00f9 semplice e galileiano. Prendiamo come insieme <i>N<\/i> i numeri naturali e dividiamoli in quelli pari <i>P<\/i> e quelli dispari <i>D<\/i>. Ora, se dividiamo per 2 gli elementi di <i>P<\/i> otteniamo <i>N<\/i>, e se togliamo 1 dagli elementi di <i>D<\/i> e poi li dividiamo per 2 otteniamo di nuovo <i>N<\/i>. Tutto questo funziona perch\u00e9 i numeri sono infiniti, naturalmente; ma mentre in questo secondo caso dobbiamo comunque fare un&#8217;operazione (quella di divisione) che pare sparigliare nel caso precedente abbiamo solo trasformazioni rigide. Carino, no?<\/p>\n<p><small>(immagine di xkcd: la vignetta completa \u00e8 <a href=\"https:\/\/xkcd.com\/804\/\">qui<\/a>.)<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>i numeri reali sono davvero tanti, e cos\u00ec arrivano i paradossi.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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