{"id":26026,"date":"2023-03-22T11:02:08","date_gmt":"2023-03-22T10:02:08","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=26026"},"modified":"2023-03-22T11:31:51","modified_gmt":"2023-03-22T10:31:51","slug":"tassellazione-aperiodica-una-forma-basta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/03\/22\/tassellazione-aperiodica-una-forma-basta\/","title":{"rendered":"tassellazione aperiodica: una forma basta"},"content":{"rendered":"

\"La<\/a>Siamo tutti in grado di riempire un piano con tanti quadratini uguali. Ovviamente dovremmo avere un tempo infinito a disposizione o limitarci a dare una formula esplicita per la posizione dei quadrati, ma i matematici non si curano di queste quisquilie. Anche esagoni e triangoli riempiono il piano in modo semplice: si pu\u00f2 dimostrare che un qualunque triangolo o quadrilatero convesso pu\u00f2 farlo, e ci sono quindici famiglie diverse di pentagoni (non regolari) connessi che permettono di riempire il piano.<\/p>\n

Tutte queste tassellature (\u00e8 il nome tecnico) hanno una propriet\u00e0 in comune: sono periodiche. Detto in altri termini, se noi guardiamo il piano mettendo come origine un punto specifico, qualcuno potrebbe traslare il piano e noi non ci accorgeremmo di nulla: su un foglio (infinito) a quadretti possiamo per esempio spostarci di un quadretto a sinistra o a destra. Essendo i matematici quello che sono, si sono presto posti la domanda “esiste una tassellatura aperiodica<\/strong> del piano? <\/p>\n

Nel 1961 il logico Hao Wang cerc\u00f2 di scoprire se dato un insieme di piastrelle si poteva trovare un algoritmo che dice se \u00e8 possibile tassellare con esse il piano. Dimostr\u00f2 che lo si pu\u00f2 fare se e solo se esiste una tassellatura periodica; tre anni dopo Robert Berger mostr\u00f2 che quel problema era insolubile, presentando un insieme di 20426 tessere diverse che permettono sono una tassellatura aperiodica. Da quel momento \u00e8 partita una gara per ridurre il numero di tessere distinte necessarie: fino a ieri il record era detenuto da sir Roger Penrose e Robert Ammann, che nel 1974 trovarono le due tessere “dart” e “kite”<\/a>. (Nota per i pignoli: per garantire che l’unica tassellatura possibile del piano sia aperiodica bisogna specificare alcune regole di adiacenza: lo si fa con degli incastri come nelle tessere dei puzzle che rovinano la bellezza delle forme).<\/p>\n

Per quasi mezzo secolo c’\u00e8 stata la ricerca di “einstein”, la forma singola che tassellasse il piano in modo aperiodico, chiamata cos\u00ec non in omaggio ad Alberto ma perch\u00e9 in tedesco “ein Stein” significa “una pietra”. Ci furono alcuni risultati, ma la tessera ottenuta non era semplicemente connessa (cio\u00e8 era fatta di pezzetti sparsi qua e l\u00e0) e quindi \u00e8 squalificata. Ieri per\u00f2 \u00e8 giunta la notizia che David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, e Chaim Goodman-Strauss hanno trovato una singola tessera<\/a>, che hanno chiamato “hat”, cappello, con questa propriet\u00e0; o per meglio dire hanno trovato una famiglia di tessere di cui l’hat \u00e8 il membro archetipico. Trovate qualche informazione aggiuntiva in questo toot di John Baez<\/a>.<\/p>\n

La parte pi\u00f9 interessante di tutto questo \u00e8 che le tassellature aperiodiche possono esistere in natura! I quasicristalli sono strutture di questo tipo, che permettono per esempio di avere una simmetria pentagonale che era vietata dalla teoria. (Ricordo che l’aperiodicit\u00e0 \u00e8 solo per traslazione, la rotazione \u00e8 permessa). Nessuno avrebbe pensato a cercare queste strutture minerali se non ci fosse stato questo esempio teorico…<\/p>\n

Con la scoperta della singola tessera, la storia finisce qui? Non ancora. Questo hat ricopre il piano, ma occorre anche rovesciare la tessera oltre che traslarla e ruotarla. Sar\u00e0 possibile evitare questa macchiolina? <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Siamo tutti in grado di riempire un piano con tanti quadratini uguali. Ovviamente dovremmo avere un tempo infinito a disposizione o limitarci a dare una formula esplicita per la posizione dei quadrati, ma i matematici non si curano di queste quisquilie. 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