{"id":25586,"date":"2023-01-16T04:51:05","date_gmt":"2023-01-16T03:51:05","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=25586"},"modified":"2023-01-16T22:47:46","modified_gmt":"2023-01-16T21:47:46","slug":"perche-2-non-puo-essere-razionale","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/01\/16\/perche-2-non-puo-essere-razionale\/","title":{"rendered":"Perch\u00e9 √2 non pu\u00f2 essere razionale"},"content":{"rendered":"

Il fatto che la radice quadrata di 2 sia irrazionale (cio\u00e8 non \u00e8 esprimibile come rapporto tra due numeri naturali) \u00e8 noto almeno dai tempi dei pitagorici. La dimostrazione si fa normalmente mostrando che se p<\/i>\/q<\/i> = √2 allora p<\/i>²\/q<\/i>² = 2, e quindi p<\/i>² = 2q<\/i>² poich’\u00e9 il quadrato di un numero dispari \u00e8 ancora dispari, p<\/i> deve essere pari e quindi scrivibile come 2r<\/i>. Ma allora 4r<\/i>² = q<\/i>², quindi anche q<\/i> dev’essere pari e quindi scrivibile come 2s<\/i>. Solo che non si pu\u00f2 continuare all’infinito a dimezzare numeri naturali…<\/p>\n

Ho visto questo tweet di Math Lady Hazel<\/a> con una dimostrazione completamente diversa, e bellissima. <\/p>\n

Innanzitutto, sappiamo che √2 < 2, perch\u00e9 elevando al quadrato abbiamo 2 < 4. Supponiamo ora che √2 sia razionale: allora esistono infiniti numeri che moltiplicati per √2 danno un numero naturale come risultato. Sia k<\/i> il pi\u00f9 piccolo di questi numeri. Si ha che k<\/i>·(√2−1)·√2 = 2k<\/i> − k<\/i>√2 \u00e8 per costruzione un numero naturale, e pertanto anche k<\/i>·(√2−1) \u00e8 un numero tale che se moltiplicato per √2 d\u00e0 un naturale come risultato. Ma dato che √2−1 \u00e8 minore di 1, l’ipotesi che k<\/i> fosse il minore di quei numeri \u00e8 falsa. QED :-)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una bellissima dimostrazione che non avevo mai visto.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-25586","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-6EG","jetpack-related-posts":[{"id":34334,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/11\/12\/un-paio-di-dimostrazioni-non-standard\/","url_meta":{"origin":25586,"position":0},"title":"Un paio di dimostrazioni non standard","author":".mau.","date":"2025-11-12","format":false,"excerpt":"A volte ci si ingegna a trovare dimostrazioni matematiche \"inutili\", perch\u00e9 pi\u00f9 complicate, ma con un loro interesse.","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":29550,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/09\/01\/quizzino-della-domenica-cioccolatini\/","url_meta":{"origin":25586,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: Cioccolatini","author":".mau.","date":"2024-09-01","format":false,"excerpt":"Sono a dieta, e l'unica cosa che posso fare con le tre scatole A, B, C semivuote di cioccolatini davanti a me \u00e8 giocarci un po'. 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