{"id":16533,"date":"2018-03-25T04:04:51","date_gmt":"2018-03-25T03:04:51","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=16533"},"modified":"2018-03-22T22:40:01","modified_gmt":"2018-03-22T21:40:01","slug":"quizzino-della-domenica-candeline","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2018\/03\/25\/quizzino-della-domenica-candeline\/","title":{"rendered":"Quizzino della domenica: candeline"},"content":{"rendered":"<p>Tra un po&#8217; sar\u00e0 il mio compleanno. Come sempre, mi prepareranno una torta con <i>n<\/i> candeline &#8211; no, non vi dico quanti anni compio &#8211; e dovr\u00f2 spegnerle tutte prima che si possa festeggiare. Il problema \u00e8 che non sono mai stato bravo a soffiare. In pratica, se sulla torta sono ancora accese <i>k<\/i> candeline, dopo il mio soffio ne possono rimanere 0, 1, 2, &#8230;, <i>k<\/i>&minus;1 con la stessa probabilit\u00e0 1\/<i>k<\/i> (vabb\u00e8, almeno una riesco sempre a spegnerla). Quanti soffi mi occorreranno in media per spegnere tutte le candeline?<br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/03\/q306a.png?resize=400%2C341\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"341\" class=\"aligncenter size-full wp-image-16534\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/03\/q306a.png?w=400&amp;ssl=1 400w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/03\/q306a.png?resize=300%2C256&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/03\/q306a.png?resize=352%2C300&amp;ssl=1 352w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/><br \/>\n<!-- Cominciate con 1, 2 o 3 candeline e provate a estrapolare la formula --><small>(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina <a href=\"http:\/\/xmau.com\/quizzini\/p306.html\">http:\/\/xmau.com\/quizzini\/p306.html<\/a>; la risposta verr\u00e0 postata l\u00ec il prossimo mercoled\u00ec. Problema da <a href=\"http:\/\/amzn.to\/2FWAkyc\"><i>Probability: A Lively Introduction<\/i><\/a> di Henk Tijms via <a href=\"https:\/\/mindyourdecisions.com\/blog\/2018\/03\/15\/can-you-solve-professor-henk-tijms-birthday-candles-puzzle\/\">Mind Your Decisions<\/a>; immagine di jimyeh, da <a href=\"https:\/\/openclipart.org\/detail\/166358\">OpenClipArt<\/a>)<\/small><br \/>\n<!--Definiamo E[<i>i] il valore medio del numero di soffi al variare di <i>i<\/i> e calcoliamolo esplicitamente per <i>i<\/i> piccolo. E[1] = 1 per ovvie ragioni, e per comodit\u00e0 possiamo anche dire E[0]=0 (se non ci sono candeline non dobbiamo soffiare!). Con due candeline, ho probabilit\u00e0 1\/2 di spegnerle tutte e 1\/2 di spegnerne una sola e avere bisogno di un secondo soffio; quindi E[2] = 1 + 1\/2(E[1]) + 1\/2(E[0]) = 1 + 1\/2. Con tre candeline, ho un terzo di probabilit\u00e0 di spegnerne 1, 2 oppure 3; quindi ho E[3] = 1 + 1\/3(E[2]) + 1\/3(E[1]) + 1\/3(E[0]). In generale quindi, eliminando le frazioni, abbiamo \n\n\n<blockquote><i>k<\/i>E[<i>k<\/i>] = <i>k<\/i> + E[0] + E[1] + ... + E[<i>k<\/i>&minus;1] <\/blockquote>\n\n\nl modo pi\u00f9 semplice per risolvere questa equazione alle ricorrenze \u00e8 cercare di eliminare quanti pi\u00f9 elementi possibile; aggiungendo 1 a <i>k<\/i>, abbiamo \n\n\n<blockquote>(<i>k<\/i>+1)E[<i>k<\/i>+1] = (<i>k<\/i>+1) + E[0] + E[1] + ... + E[<i>k<\/i>].<\/blockquote>\n\n\nSottraendo da questa l'espressione precedente arriviamo a \n\n\n<blockquote>(<i>k<\/i>+1)E[<i>k<\/i>+1] = 1 + (<i>k<\/i>+1)E[<i>k<\/i>] <\/blockquote>\n\n\ne da qui si ottiene finalmente \n\n\n<blockquote>E[<i>k<\/i>+1] &minus; E[<i>k<\/i>] = 1\/<i>k<\/i> <\/blockquote>\n\n\nIn definitiva, il valore atteso E[<i>n<\/i>] sar\u00e0 pari a 1 + 1\/2 + 1\/3 + ... + 1\/<i>n<\/i>. --><br \/>\n<!-- La serie armonica spunta in casi a prima vista inaspettati, il che prova che \u00e8 un costrutto naturale in matematica. Dal punto di vista tecnico \u00e8 importante saper lavorare con le equazioni alle ricorrenze, e cercare di ridurre il pi\u00f9 possibile il numero di variabili presenti per arrivare facilmente alla soluzione. --><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Tra un po&#8217; sar\u00e0 il mio compleanno. Come sempre, mi prepareranno una torta con n candeline &#8211; no, non vi dico quanti anni compio &#8211; e dovr\u00f2 spegnerle tutte prima che si possa festeggiare. Il problema \u00e8 che non sono mai stato bravo a soffiare. 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