Una scommessa sul problema di Monty Hall

Non so quanti messaggi ho ricevuto o visto che contestano la validità della soluzione al Problema di Monty Hall (o delle tre porte). Per chi non lo conoscesse, il problema dice che un concorrente a un gioco può scegliere una di tre porte, e sa che dietro una di esse c'è un ricco premio mentre dietro le altre due non c'è nulla. Prima di aprire la porta, il presentatore - che sa dov'è nascosto il premio: questo è molto importante - dice al concorrente: "Guarda, ti voglio aiutare. Adesso apro una delle due porte che non hai scelto e ti mostro che lì non c'è nulla. Ora, vuoi cambiare porta oppure no?" La mia risposta è che cambiare porta aumenta le tue probabilità di vincita a 2/3 e quindi ti conviene farlo; quella di molta gente è che la probabilità di entrambe le porte rimaste sale a 1/2, e quindi cambiare porta è irrilevante.

Ora, ciascuno ha diritto di pensare quello che vuole: ma essendo io un pragmatico, ho preparato un'offerta fatta proprio per chi è convinto che cambiare porta è irrilevante. Caro interlocutore: leggi quanto ti propongo.

Prendiamo un'estrazione del lotto che deve ancora avvenire (puoi scegliere tu la data che vuoi, purché ovviamente sia nel futuro). Nel lotto ci sono novanta numeri, ciascuno dei quali appartiene convenzionalmente al gruppo 1 (i numeri da 1 a 30), 2 (da 31 a 60), X (da 61 a 90). Spero che tu sia d'accordo sul fatto che l'estrazione dei cinque numeri di una ruota sia in buona approssimazione un processo casuale: è vero che dopo che hai estratto ad esempio il 42 la probabilità che il secondo estratto sia nel gruppo 2 è leggermente minore, ma questo non dovrebbe inficiare il ragionamento. Se preferisci, però, possiamo utilizzare cinque estrazioni consecutive e considerare solo il primo estratto di ogni ruota.

Prima dell'estrazione tu mi dai una lista di 55 valori 1,X oppure 2 da abbinare ordinatamente ai 55 numeri estratti sulle undici ruote (una volta erano 10, ora c'è anche la Nazionale in fondo). Per ciascun numero estratto io ti dirò, seguendo un algoritmo che scrivo qui in calce, "guarda, il numero estratto non è nel gruppo [G]", dove [G] non è il gruppo scelto da te. L'algoritmo è perfettamente deterministico: dato un numero estratto e una tua scelta, la mia risposta sarà obbligata.

Se tu sei convinto che nel paradosso di Monty Hall è indifferente cambiare porta, allo stesso modo devi essere convinto che nel nostro caso è indifferente cambiare gruppo. Bene, facciamo una scommessa di 10 euro sul fatto che tu abbia indovinato ciascuno dei gruppi, e quindi non cambi scelta. Anzi, crepi l'avarizia: se effettivamente hai indovinato io non ti darò 10 euro, ma 13. Se il tuo ragionamento è corretto, dovresti vincere mediamente 27 volte e mezzo e perdere altrettante volte, per un guadagno medi di 82,50 euro. Consideriamo pure che tu sia un po' sfortunato e vinca solo 24 volte, perdendo 31, saresti comunque in attivo di due euro; insomma mi pare un buon affare per te. Vuoi scommettere?

.mau.

Il mio algoritmo è il seguente, per ciascun numero estratto:

- se tu hai scelto il gruppo 1:
  - esce 1: se il numero estratto è pari, ti dico "il numero estratto non è nel gruppo 2", se è dispari, ti dico "non è nel gruppo X"
  - esce 2: ti dico "non è nel gruppo X"
  - esce X: ti dico "non è nel gruppo 2"

- se tu hai scelto il gruppo 2: 
  - esce 2: se il numero estratto è pari, ti dico "non è nel gruppo 1", se è dispari, ti dico "non è nel gruppo X"
  - esce 1: ti dico "non è nel gruppo X"
  - esce X: ti dico "non è nel gruppo 1"

- se tu hai scelto il gruppo X:
  - esce X: se il numero estratto è pari, ti dico "non è nel gruppo 1", se è dispari, ti dico "non è nel gruppo 2"
  - esce 1: ti dico "non è nel gruppo 2"
  - esce 2: ti dico "non è nel gruppo 1"