L'idea di base per la dimostrazione è dire "bene, a partire da un insieme qualunque di numeri primi, ne possiamo sempre trovare un altro". Tra l'altro, Euclide era un greco, e quindi per lui il concetto di "infinito" era "più grande di un qualunque numero dato', quindi questa dimostrazione si adattava perfettamente al suo modo di pensare.
Supponiamo allora di avere i nostri numeri primi, che chiamiamo
p1, p2, ...,
pn. Li moltiplichiamo
tutti tra loro, e a questo risultato ci sommiamo ancora 1.
A questo punto, si hanno due casi: il numero è primo - e allora ne abbiamo
trovato un altro - oppure è composto. Ma in questo caso, non può essere
divisibile per p1, perché la divisione dà resto 1:
ce l'abbiamo sommato apposta! Lo stesso vale ovviamente per tutti
gli altri pk, quindi abbiamo trovato dei nuovi
numeri primi anche in questo caso.
Esempio pratico: partiamo da 2, e otteniamo 2+1=3 che è primo. Da {2,3} otteniamo (2*3)+1=7 che è primo; da {2,3,7} abbiamo (2*3*7)+1=43 che è anch'esso primo, da {2,3,7,43} ricaviamo 1807... che non è primo, ma è dato dal prodotto di 13 e 189, giusto per far vedere che il procedimento non genera sempre numeri primi.
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