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Pari o dispari?

[Nota: di questo articolo esiste anche la versione meno leggera.]

Immagino che abbiate già sentito parlare del Triangolo di Tartaglia, magari sotto il nome di Triangolo di Pascal. È un triangolo (ma vah?) infinito, che ha in punta e sui due lati tutti 1; gli altri numeri si calcolano sommando i due numeri immediatamente al di sopra. Il triangolo di Tartaglia, come tante strutture matematiche, spunta da tante parti; ad esempio, i coefficienti dello sviluppo binomiale (1+a)ⁿ sono proprio gli elementi della riga n del triangolo di Tartaglia. Ah: la prima riga, quella per intenderci dove si trova solo il numero 1, è la "riga zero". I matematici amano partire da zero.

Oltre alla formula ricorsiva per ricavare i numeri del triangolo di Tartaglia, ce n'è anche una che permette di calcolare esplicitamente il k-simo elemento della n-sima riga; esso vale n!(k!(n-k)!), dove l'esclamativo indica la funzione fattoriale. Ah, il primo elemento, quello per intenderci più a sinistra, è l'"elemento zero". Vi ho già detto che i matematici amano partire da zero?

il triangolo di Sierpinski Ma immaginiamo che non ci interessi sapere il valore esatto dei vari elementi del triangolo di Tartaglia, ma solo se sono pari o dispari. Proviamo a disegnare il triangolo mettendo un pixel nero se il numero è dispari e uno bianco se è pari: il risultato, come vedete, sembra una specie di merletto e ha l'aspetto di tipo frattale. In effetti la figura limite è nota come Triangolo di Sierpinski: se siete romantici, potete anche vederla così. Spesso i frattali hanno una descrizione semplice, e anche in questo caso in effetti c'è un modo per trovare rapidamente se un pixel è bianco o nero, cioè se il numero corrispondente è pari o dispari. Guardando la figura, vediamo che ci sono delle righe tutte nere, altre righe quasi tutte bianche, e ancora altre righe un po' alternate, il che però non ci dice molto; la spannometria è utile, ma in questo caso non ci basta.

Il matematico che scoprì la regola è un poco conosciuto francese vissuto nell'Ottocento: Edouard Lucas. Lucas è forse più noto ai matematici ricreativi che a quelli accademici, anche se il test che permette di annunciare ogni tanto la scoperta di un numero primo enorme è stato inventato da lui e poi affinato da Lehmer. Non è un caso che il test di primalità valga per i numeri della forma 2ⁿ-1: Lucas era affascinato dai numeri scritti in notazione binaria, e purtroppo per lui era nato con un secolo di anticipo, perché altrimenti sarebbe stato deliziato dagli elaboratori elettronici che in base 2 ci lavorano. Un altro esempio di questa sua infatuazione è la creazione del gioco della Torre di Hanoi, nella cui soluzione le potenze di due giocano un ruolo fondamentale.

Torniamo al nostro triangolo, e prendiamo un elemento a caso; quello in posizione k nella riga n, ricordandoci sempre che si inizia a contare da zero. Scriviamo ora k e n in formato binario, e mettiamoli uno sotto l'altro, aggiungendo se necessario degli zeri a sinistra di k perché siano della stessa lunghezza. Cerchiamo ora tutti i bit di k che hanno valore 1 e vediamo il bit corrispondente di n; se per ciascuno di quei bit di k anche quello corrispondente di n vale 1, allora il nostro elemento sarà dispari, altrimenti sarà pari. Lo so, detto così è incomprensibile; quindi faccio un esempio pratico. Se n vale 19, cioè 10011 in notazione binaria, ci saranno esattamente otto valori di k per cui l'elemento del triangolo sarà dispari: quelli della forma x00xx, dove x può valere 0 oppure 1. Andando a scalare, ci saranno così 10011 in formato binario, cioè 19; 10010=18, 10001=17, 10000=16, 00011=3, 00010=2, 00001=1, e... 00000=0. Quest'ultimo risultato può sembrare un po' strano: in fin dei conti non ci sono mica bit di k che valgano 1, e quindi si direbbe che l'ipotesi non valga. Ma i matematici amano parlare delle mirabolanti proprietà dell'insieme vuoto: se ci pensate, questo caso è la stessa cosa che dire "se non faccio, non sbaglio". Poi dovreste fidarvi, visto che l'elemento in posizione zero è il primo della riga (vi ho già detto che i matematici amano partire da zero?) e quello vale sicuramente 1.

Vi faccio ancora qualche esempio facile. Le righe 2, 4, 8, 16... del triangolo, vale a dire la terza, la quinta, la nona... sono quelle dove gli unici pixel neri sono i due estremi, dove cioè k = 0 e k = n; in effetti n è della forma 1000...000 e non si può fare molto. In compenso, le righe appena sopra di esse, cioè la 1, 3, 7, 15, ... sono completamente nere, e in effetti se n è della forma 1111...111 si può scegliere un k qualsiasi, perché tanto i bit sopra sono tutti a 1. Se ci si pensa un po' su, si può capire perché ci siano i triangoli bianchi che man mano si riducono (aiutino: dipende da quanti 1 ci sono a destra nella rappresentazione binaria di k); ma si può anche lasciar perdere tutto questo e limitarsi ad apprezzare il risultato. Qui si vuole essere light, in fin dei conti!