Logaritmi cantati

Al giorno d'oggi i logaritmi sono uno di quegli enti matematici che sembrano nati apposta per spaventare gli studenti, che si chiedono a che diavolo servano quei numeri astrusi. Dire che doverbbero essere ancora felici che una qualunque calcolatrice tascabile da dieci euro ti permette di trovare il logaritmo di un numero schiacciando un tasto, senza dover compulsare le tavole logaritmiche (io ne avevo una: non era così difficile usarla, ma assicuro che era una palla). In effetti i logaritmi, come i regoli calcolatori, erano importanti quando non si avevano a disposizione calcolatrici e computer, ed era necessario fare dei conti complicati: se ci si accontentava di un risultato approssimato lo si poteva ottenere piuttosto facilmente, al costo di leggere un po' di numeri sulle tavole.

Prima o poi dovrò scrivere qualcosa sui logaritmi: per il momento, se proprio non ne sapete nulla, tenete conto che le formule di base sono queste:

log(a*b) = log(a)+log(b)

log(a^b) = b*log(a)

In pratica il logaritmo "abbassa di complessità" le operazioni, trasformando il prodotto in una somma e l'elevazione a potenza in un prodotto. Per calcolare ad esempio 3259*3425, posso insomma prendere i logaritmi dei due numeri, sommarli, e cercare l'antilogaritmo della somma per ottenere (un'approssimazione del) risultato.

Storicamente i logaritmi servivano per rendere un po' più semplici i contazzi enormi che soprattutto gli astronomi dovevano fare per calcolare le orbite degli astri. Però potrebbero essere usati anche per fare conti a mente... se non fosse per il fatto che imparare a mente i logaritmi dei principali numeri può essere piuttosto lungo, e se uno deve avere dietro le tavole dei logaritmi non gli passa più. C'è però un trucchetto che ci facilita la vita, usando... la musica! Sappiamo tutti infatti che 2¹⁰ (1024) è più o meno uguale a 10³ (1000), il che significa che 2^1/12 è più o meno uguale a 10^1/40. Ma 2^1/12 è esattamente il rapporto di frequenza tra due semitoni nel temperamento moderno! Questo significa che per trovare il logaritmo in base dieci di un numero x, basta vedere x come un rapporto, oppure il prodotto di vari rapporti; calcolare a quanti semitoni corrispondono tali rapporti; se ce n'è più di uno, sommarli; e dividere infine il risultato per 40. Viceversa, per l'antilogaritmo in base 10 di y (10^y) si moltiplica y per 40, si guarda a quanti semitoni corrisponde, e da lì si ottiene il rapporto voluto. Per quanto possibile, conviene usare i rapporti che "suonano meglio" nel vero senso della parola: ottava (rapporto 2, pari a 12 semitoni), quinta (3/2, pari a 7 semitoni) e quarta (4/3, 5 semitoni).

Un esempio vale sicuramente più di mille parole: iniziamo a vedere come calcolare il logaritmo di 3. Scriviamo 3 come 2*(3/2), quindi 12+7=19 semitoni; dividendo per 40 (prima per 10 e poi due volte per 2) otteniamo 0,475 contro il valore corretto 0,47712 circa. Se volessimo calcolare il numero di risultati possibile al totocalcio, cioè 3¹³, avremo 13*19 semitoni, cioè 247 semitoni totali. (Qui c'è un altro trucchettino matematico: 13*19 = (16*16)-(3*3), e chi ama fare conti a mente sa a memoria che 16 al quadrato è 256). Di questi semitoni, i primi 240 = 40*6 danno un milione, che è da moltiplicare per il rapporto corrispondente a 7 semitoni, cioè una quinta, cioè 3/2. Il valore approssimato è pertanto un milione e mezzo, contro il valore esatto di 1594323. Un 6% circa di errore, risultato non disprezzabile.

L'unico intero da 1 a 10 difficile da approssimare con gli intervalli musicali è 7, per cui si può prendere circa 34 semitoni, come si può vedere dalla tabella riportata nel sito da cui ho scopiazzat... ehm, mi sono ispirato: una lezione (PDF) di Sanjoy Mahajan per il suo corso al MIT denominato Street-fighting mathematics. La cosa non dovrebbe stupire chi ha studiato musica: in effetti i primi armonici del Do1, cioè i multipli interi della frequenza di base, sono Do2, Sol2, Do3, Mi3, Sol3, una nota stonata (il settimo armonico), Do4, Re4, Mi4. Torna tutto, insomma!

Occhei, probabilmente l'uso pratico di queste tabelline di conversione è un po' improbabile, però sono carine, no?

© Maurizio Codogno, 11 agosto 2008
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