di Richard Harter
Il problema dell'asse del gabinetto è stato soggetto di molte controversie. In questo articolo considereremo un modello semplificato del problema. Mostreremo che per tale modello c'è un inerente conflitto di interessi, che può essere risolto da una soluzione ottimale.
Consideriamo un bagno con una toilette per tutti gli usi, nota anche come un WC, che viene utilizzata per due operazioni che designeremo #1 e #2. La toilette ha un accessorio che denomineremo asse (ma vedi la nota 1 sotto) che può trovarsi in due posizioni distinte, che designeremo "su" e "giù".
Le operazioni alla toilette vengono compiute da membri della specie umana (vedi la nota 2 sotto) che si suddividono in due categorie, popolarmente definite maschi e femmine. Per comodità useremo il nome John per riferirci al tipico maschio e Karen per la tipica femmina.
Le operazioni compiute alla toilette da John e Karen sono differenti in vari riguardi. Il costo di tali operazioni è diverso per ciascun sesso ed è fisso, tranne per quanto riguarda la posizione dell'asse. In particolare:
Karen compie le operazioni #1 e #2 con l'asse nella posizione giù. John compie l'operazione #1 con l'asse nella posizione su, e l'operazione #2 con l'asse nella posizione giù. Se l'asse è nella posizione sbagliata, prima di compiere l'operazione la posizione deve essere cambiata, con un costo medio C. Opzionalmente è possibile cambiare la posizione dopo avere compiuto un'operazione, allo stesso costo medio C. (Cambiare la posizione dell'asse durante l'esecuzione di una operazione in gabinetto è oltre gli scopi di questo articolo, e non è affatto raccomandato).
Consideriamo lo scenario in cui John e Karen usino ciascuno una propria toilette. Dovrebbe essere ovvio anche all'osservatore casuale che ciascuno minimizzerà il costo di spostamento della posizione dell'asse non alterando tale posizione dopo avere effettuato un'operazione alla toilette.
Per Karen, il costo di spostamento è 0, visto che tutte le sue operazioni sono eseguite con il sedile nella posizione giù; per John, il costo è maggiore di 0 perché vi sono dei casi in cui occorre eseguire degli spostamenti.
Sia p la probabilità che John esegua un'operazione #1 rispetto alla #2. Assumiamo che John ottimizzi il proprio costo di spostamento della posizione dell'asse (si veda la nota 3 sotto). È allora semplice determinare come il costo medio di spostamento della posizione dell'asse per operazione alla toilette sia
S = 2p(1-p)C
dove S è il costo di uno scapolo per lo spostamento dell'asse della toilette per singola operazione.
Consideriamo ora lo scenario in cui John e Karen convivono, e usano entrambi la stessa toilette. Nella nostra analisi assumeremo che John e Karen compiano operazioni alla toilette con la stessa frequenza (vedi la nota 4) e che l'ordine in cui essi compiano le operazioni sia casuale. I due scoprono con mutuo dispiacere che la loro coabitazione modifica in peggio il costo di spostamento della posizione dell'asse per ciascuno di loro, e soprattutto che c'è un conflitto di interessi inerente. I tentativi di risolvere il problema generalmente si basano su due strategie che designeremo come J e K:
Strategia J
Ogni persona mantiene la stessa strategia di default che usava prima di convivere. Questa strategia viene proposta da John con l'argomentazione "Che importa se l'asse è su o giù?" Come vedremo, tale strategia è vantaggiosa per John.
Strategia K
Ogni persona riporta l'asse giù. Questa strategia è proposta da Karen, con l'argomentazione "Deve stare giù". Come vedremo, tale strategia è vantaggiosa per Karen.
Conseguenze della strategia J:
Con la strategia J, l'asse della toilette è nella posizione su con probabilità p/2. Il costo medio rispettivo delle operazioni di spostamento dell'asse della toilette per John e Karen è:
John: p(3/2-p)C
Karen: pC/2
I costi incrementali (differenza tra i costi pre- e post-convivenza) sono:
John: (p - 1/2)pC
Karen: pC/2
Totale: p2C
Il costo incrementale per John sarebbe addirittura negativo se p fosse minore di 1/2, ma questo non è il caso; sperimentalmente è noto che p>1/2. Notate inoltre che il costo incrementale per Karen è sempre maggiore di quello di John per un qualunque p<1. Karen si lamenta.
Conseguenze della strategia K:
Nella strategia K, l'asse è sempre giù. Quando John compie l'operazione #1, solleva l'asse prima dell'operazione e l'abbassa dopo l'operazione. Il costo medio rispettivo delle operazioni di spostamento dell'asse della toilette è:
John: 2pC
Karen: 0
I costi incrementali sono:
John: 2p2C
Karen: 0
Totale: 2p2C
In questa strategia Karen non ha alcun costo; tutti i costi incrementali sono sopportati da John. John si lamenta. Notate inoltre che il costo incrementale combinato della strategia K è maggiore di quello della strategia J.
Risulta interessante verificare come sia John che Karen invochino una strategia che li avvantaggia. Questo comportamento è predicibile usando la teoria dei giochi. Però il conflitto tra le due strategie ottimali ha un costo D in discordia maritale che è maggiore del costo cumulativo delle operazioni di spostamento dell'asse della toilette. Conviene pertanto che John e Karen adottino una strategia che minimizzi D.
Trovare una strategia ottimale non è semplice. Una reazione comune è quella di portare varie argomentazioni per adottare la strategia J oppure K. Tutte queste argomentazioni sono sospette, visto che tendono tutte all'utile personale - e spesso sono accompagnate dalla tattica nota come "se mi ami". Una strategia ragionevole dovrebbe invece essere dimostrabilmente equa. A questo riguardo, ci sono tre criteri possibili:
Gli argomenti a favore di (a) consistono nel far notare che ora John and Karen sono una cosa sola, e che sono i costi e benefici della coppia che devono essere considerati. Questo principio non è però accettato universalmente. Si può infatti facilmente verificare (vedi nota 5) che il costo complessivo totlae è ottimizzato dalla strategia J che abbiamo già visto essere sospetta.
Il criterio (b) sembra plausibile. Esso richiede però che Karen sposti l'asse nella posizione su dopo avere compiuto un'operazione alla toilette una certa percentuale di volte. Non è mai stato osservata un'istanza di tale comportamento nel corso della storia; ergo tale criterio può essere scartato. (Ma si veda la nota 6.)
Il criterio (c) afferma che l'accresciuto costo mutuo delle operazioni di spostamento dell'asse della toilette dovrebbero essere condivise equamente, vale a dire che nessuna delle due parti debba sopportare una quota sproporzionata del costo della convivenza. Un breve calcolo mostra che si può soddisfare il criterio (c) se John porta l'asse della toilette in posizione su dopo avere effettuato l'operazione #1 con una frequenza f definita da
f = (2p-1)/p
Visto che il valore di p è raramente misurato con precisione, e ad ogni modo è variabile, basta utilizzare un valore approssimato di f. Se assumiamo p=2/3, allora f=1/2. Questo suggerisce la semplice regola pratica seguente:
Al mattino, John lascia l'asse nella posizione su dopo avere compiuto l'operazione #1.
La sera, lo sposta nella posizione giù.
Tale regola può non essere precisa, ma è semplice e approssimativamente equa; inoltre l'uso di una regola ben definita genera delle speranze. L'asse viene messo nella posizione giù la sera per evitare la nota "sorpresa notturna".
Mi aspetto che tale analisi ponga fine alla controversia sull'asse del gabinetto una volta per tutte; almeno se John and Karen sono due matematici.
Note:
[1] La toilette ha un accessorio addizionale, denominato sedile, che può essere nella posizione giù solamente se anche l'asse della toilette è giù. Se il sedile è giù, il gabinetto è, o almeno dovrebbe essere, non in funzione per le operazioni alla toilette. Alcune persone preferiscono avere il sedile nella posizione giù quando la toilette non è in uso; per tali persone l'analisi di questo articolo è pertanto irrilevante. Queste persone hanno un costo fisso in movimenti dell'asse per tutte le operazioni alla toilette.
[2] Le toilette sono anche utilizzate dagli animali domestici come sorgente conveniente di acqua potabile, a meno che il sedile non sia abbassato (si veda la nota 1).
[3] L'evidenza sperimentale mostra che quasi tutti gli scapoli ottimizzano il costo di spostamento dell'asse, tranne alcuni casi in cui l'asse viene sollevato dopo avere effettuato un'operazione #2.
[4] Il folklore sostiene che Karen compia più operazioni alla toilette di John, ipoteticamente perché la sua vescica ha dimensioni minori. John però beve più birra. Nell'articolo non vengono discussi i suoi problemi alla prostata.
[5] "Si può facilmente verificare" in questo contesto significa "Dovrebbe essere ovvio, ma non so come dimostrarlo; fatelo voi".
[6] La soluzione del sedile della toilette consiste nell'abbassare il sedile dopo ogni operazione alla toilette. Tale soluzione impone un costo pari a 2C a entrambe le parti, e pertanto è più costosa. D'altronde è più estetica, e inoltre elimina il problema "bevuta del cane".
Versione originale: http://www.bioteach.ubc.ca/quarterly/?p=108