Cos'è una dimostrazione "elegante"?

Noi matematici - permettemi di usurpare questo titolo - rimaniamo stupiti quando vediamo che qualcuno, magari una persona brillante e non certo stupido, non riesce a vede la "bellezza" di un procedimento matematico. Peccato che noi non siamo in genere capaci di dare una definizione di "bellezza", o di "eleganza" come preferiamo in genere dire, visto che in questo campo per noi i due termini sono equivalenti. Siamo quindi costretti a lasciar perdere la discussione e sentirci a disagio.
Non ho nemmeno io una risposta, ma vorrei rendervi partecipi di qualche considerazione che ho fatto, aiutato anche da una chiacchierata con Piero Fabbri, e che potrebbero gettare una qualche luce su come vediamo questi concetti..

Due esempi

Iniziamo con un aneddoto probabilmente già noto. Da bambino, Carl Friederich Gauss un giorno si vide assegnare dal maestro elementare il compito di sommare i numeri interi da 1 a 100. Immagino che il maestro volesse starsene un po' in pace. Peccato che dopo un minuto il Carletto se ne arrivò con la risposta corretta!
Quando il maestro gli chiese come aveva fatto a trovarla così in fretta, lui rispose "È semplice: ho visto che potevo accoppiare 1 con 100, 2 con 99, 3 con 98 e così via, ottenendo come somme parziali sempre 101. Se i numeri sono 100, avrò 50 di queste coppie, quindi la soluione è 50*101, cioè 5050."

Un altro esempio in un certo senso simile riguarda un problema che ho trovato su Rudi Mathematici (non l'avete mai letta? corrrete subito a scaricarvi i numeri!). C'è un gioco nel quale il banco lancia due dadi (con un numero di facce non necessariamente pari a 6: diciamo che il numero di facce è N), e poi noi ne lanciamo un altro. Se il valore che noi facciamo è strettamente compreso tra i due ottenuti dal banco vinciamo noi, altrimenti perdiamo. Quindi se il banco lancia 3 e 5, la nostra unica possibilità è ottenere 4. Qual è la nostra probabilità di vincere?
È chiaro che se uno è molto paziente può mettersi a provare tutte le possibilità che si possono ottenere con tre lanci, e vedere quali sono vincenti. In fin dei conti, se abbiamo dei dadi comuni, ci sono "solo" 216 casi distinti. C'è però un metodo completamente diverso per trovare la soluzione. Se volete pensarci su, smettete di leggere. Altrimenti, il prossimo paragrafo spiegherà tutto!

Il modo con cui io ho trovato la risposta consiste nel guardare in un colpo solo i tre lanci di dadi. È abbastanza immediato accorgersi che se due di essi hanno lo stesso valore, io non posso vincere; infatti se i due dadi con lo stesso valore sono quelli del banco io ho un valore esterno, e se uno dei due è il mio non posso avere un valore strettamente compreso tra gli altri.
Ci sono rimasti pertanto solo i casi in cui i tre valori sono distinti. Ma questo significa che possiamo ordinarli, non curandoci dei valori assoluti ma solo di quelli relativi. Dati tre valori a,b,c, li possiamo ordinare in sei modi distinti: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Di essi, ce ne sono due in cui noi vinciamo, perché il nostro lancio è quello di mezzo, e quattro in cui perdiamo. Adesso i conti si possono fare in fretta. Ci sono N³ possibilità di lanciare tre dadi; quelle che danno valori tutti diversi sono N(N-1)(N-2), e un terzo di queste sono vincenti. Risultato finale: (N-1)(N-2)/3N².

Somiglianze e differenze

È ovvio che i due esempi sono di diversa difficoltà: nel primo caso, un bambino delle elementari può farsi i conti da solo, mentre nel secondo occorre avere almeno delle minime nozioni di probabilità. Ci sono però dei tratti in comune che io ritengo molto importanti: eccoli qua.

Esiste un metodo semplice ma tedioso per risolvere il problema. Non occorre chissà quale genialità per mettersi a sommare numeri, oppure a elencare i vari tipi di lanci di dadi. Il guaio è che - contrariamente alle credenze popolari - i matematici non sono affatto interessati a fare conti: trovano la cosa assolutamente inutile e anche noiosa, esattamente come il resto del mondo. Tanto ci sono le calcolatrici!
Il metodo alternativo è sì più difficile, ma comunque non troppo complicato. Per il problema di Gauss, si riesce a fare una moltiplicazione anche senza una calcolatrice a disposizione; per quanto riguarda invece il lancio dei dadi, occorre conoscere un paio di nozioni di combinatoria che però si possono anche trovare al volo - io almeno me le devo ricavare tutte le volte! - ma poi i conti finali si riducono a qualche moltiplicazione e divisione.
Il metodo alternativo è più generale. Non importa se i numeri da sommare, o le facce dei nostri dadi virtuali, sono sei, cento o mille: il metodo alternativa utilizza la stessa identica formula, e basta sostituire a N il valore dato. Questo implica tra l'altro che la sua complessità (vale a dire il numero di operazioni necessarie per calcolare la risposta) è costante. Nei metodi "banali", invece, non vi è nulla del genere, se non in linguaggio non matematico ("prendi tutti i lanci possibili con tre dadi..."). La complessità dell'algoritmo di calcolo non è costante: nel primo caso è direttamente proporzionale alla quantità di cifre da sommare, nel secondo è addirittura proporzionale al cubo del numero di facce del dado!
Il metodo alternativo è indiretto, ma non iperuranico. Diciamocelo: non è che quei metodi alternativi ci siano subito arrivati in mente! Credo che anche Gauss ci abbia dovuto pensare qualche secondo... Ecco perché dico che sono indiretti: perché usano delle proprietà non immediatamente riconoscibili. Ma questo non significherebbe molto. Come si sa, a volte si usa un cannone contro le mosche solo perché lo si ha a portata di mano: proprio i matematici sono quelli che nelle barzellette "si riconducono alle condizioni iniziali" complicando il nuovo problema. Ma in questi casi non è così. Una volta che ci viene spiegato il metodo, lo troviamo facile da capire, anche se al limite non siamo in grado di fare subito i conti.

L'"eleganza" e la didattica

Come ho scritto all'inizio, non siamo in grado di dire perché troviamo un risultato "bello" o una dimostrazione "elegante", anche se in genere siamo abbastanza d'accordo nell'indicare questo o quello. Ritengo però che i punti che ho indicato sopra possano dare una definizione di eleganza non solo accettabile, ma anche almeno in parte oggettiva. Non penso che ci sia una dimostrazione elegante se non in rapporto a un'altra, e credo che questa relazione si possa appunto misurare.

A che serve tutto questo? Non lo so, a dire il vero. Non aiuta certo ad automatizzare la dimostrazione; anzi spesso è più semplice implementare al calcolatore la soluzione "stupida" e lasciarlo lavorare per un po' di tempo, invece che perdere molto tempo noi a scervellarci.
Ma penso che in questo modo si potrebbe avvicinare qualcuno in più alla matematica. Troppo spesso la frase che si sente dire "io la matematica non la capisco!" deriva dall'avere avuto a scuola un approccio assolutamente campato per aria. Si devono imparare a memoria teoremi su teoremi senza capire il significato e su cose che adesso non hanno più importanza; i logaritmi sono stati resi obsoleti dalle calcolatrici, la trigonometria non si usa quasi mai nel mondo del Duemila. Si devono risolvere a macchinetta problemi tutti uguali, tarpando la curiosità.
Presentare invece delle soluzioni "eleganti", o addirittura dire agli studenti più curiosi che un problema ha una soluzione "non standard" e sfidarli a trovarla, magari con qualche dritta se li si vede bloccati, potrebbe dare qualche risultato, e magari qualche soddisfazione in più agli insegnanti.

versione 1.00, 7 gennaio 2004, .mau.
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