{"id":996,"date":"2017-02-23T21:38:50","date_gmt":"2017-02-23T20:38:50","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=996"},"modified":"2017-02-23T21:41:01","modified_gmt":"2017-02-23T20:41:01","slug":"kenneth-arrow","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2017\/02\/23\/kenneth-arrow\/","title":{"rendered":"Kenneth Arrow"},"content":{"rendered":"

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Kenneth J. Arrow – Credit LA Cicero, 11\/4\/1996, da Wikipedia
<\/figcaption><\/figure> Kenneth Arrow, morto marted\u00ec scorso a 95 anni<\/a>, \u00e8 stato uno degli economisti pi\u00f9 noti al grande pubblico, non fosse altro che per il suo teorema di impossibilit\u00e0<\/a>, uno dei risultati probabilmente meno compresi ma pi\u00f9 raccontati in giro, perch\u00e9 effettivamente sembra troppo bello per essere vero. Il teorema \u00e8 di solito espresso nella forma “non esiste un sistema di voto perfetto”, o anche “l’unico sistema di voto coerente \u00e8 la dittatura”; ma le cose non stanno proprio cos\u00ec, e soprattutto fermarsi a quel risultato \u00e8 davvero limitativo.<\/p>\n

Per capire il vero significato del teorema occorre innanzitutto avere un’idea del background di Arrow. Spesso si dice che gli economisti sono coloro che fanno finta di usare la matematica per giustificare qualunque idea strampalata che hanno avuto, e bisogna dire che in molti casi questa definizione non \u00e8 poi cos\u00ec lontana dal vero: ma nel caso di Arrow \u00e8 assolutamente falsa, visto che si era laureato in matematica alla Columbia University e tutti i suoi lavori hanno sempre avuto una fortissima componente matematica. Il suo risultato non \u00e8 una legge (il termine che i matematici usano per indicare qualcosa che funziona pi\u00f9 o meno sempre) ma un teorema vero e proprio, dimostrabile formalmente e applicabile a tutti i sistemi di voto in cui ciascun elettore ha una (implicita) graduatoria tra i candidati, e da cui deve uscire una graduatoria complessiva. Nei primi anni ’50 del secolo scorso Arrow suppose di voler rispettare alcuni vincoli che si direbbero naturali se vogliamo un sistema democratico: <\/p>\n

    \n
  1. universalit\u00e0<\/i>: il risultato deve essere univoco, senza pareggi tra i candidati.<\/li>\n
  2. non imposizione<\/i>: data una qualunque graduatoria finale, deve esistere un insieme di scelte che porti a quella graduatoria. In pratica, nessun risultato deve essere impossibile a priori.<\/li>\n
  3. non dittatoriet\u00e0<\/i>: il risultato non deve dipendere solo dalle scelte di un singolo votante oppure di un sottoinsieme dei votanti, ignorando gli altri. In altre parole, se tutti gli altri sono contrari alle scelte di una persona queste non passeranno.<\/li>\n
  4. unanimit\u00e0<\/i>: se tutti i votanti preferiscono la scelta A alla scelta B, anche la graduatoria finale vedr\u00e0 A precedere B. Al posto di questa ipotesi si pu\u00f2 usare quella pi\u00f9 debole (vale a dire con meno vincoli) della monotonicit\u00e0<\/i>: se qualcuno cambia idea e promuove nella sua graduatoria una scelta A, la graduatoria complessiva non pu\u00f2 vedere peggiorare la posizione di A; nella peggiore delle ipotesi non cambia nulla.<\/li>\n
  5. indipendenza dalle alternative irrilevanti<\/i>: se un candidato si ritira, la nuova graduatoria deve essere la stessa di quella vecchia a meno naturalmente della presenza di quel candidato. Letta in maniera diversa, non dev’essere possibile aggiungere un candidato di disturbo per far perdere un altro specifico candidato.<\/li>\n<\/ol>\n

    Bene: se ci sono almeno tre candidati e due votanti, allora questi vincoli sono tra di loro incompatibili, o se preferite non esiste nessun modo per definire una graduatoria complessiva (una funzione di scelta) che li rispetti sempre tutti. E come dicevo questo si pu\u00f2 dimostrare matematicamente: senza entrare nei particolari, i vincoli delle varie ipotesi tranne quella della non dittatoriet\u00e0 conducono necessariamente a trovare un singolo votante che \u00e8 sempre decisivo, e quindi nelle ipotesi del teorema \u00e8 un dittatore. Tutto \u00e8 perduto, allora? Non necessariamente.<\/p>\n

    Come capita sempre in matematica, quando si guarda un teorema bisogna anche osservare le sue ipotesi: in questo caso ci sono almeno due punti da tenere d’occhio. Il primo \u00e8 la richiesta di non avere pareggi. \u00c8 dalla rivoluzione francese che vogliamo questa cosa, da quando Condorcet tir\u00f2 fuori il suo paradosso: se Alice ritiene che l’ordine dei migliori Beatles sia John, Paul, George; Mina sceglie Paul, George, John; Fiordaliso li ordina George, John, Paul (Ringo \u00e8 fuori classifica, tutti amano Ringo) non \u00e8 possibile fare alcuna graduatoria. Ma a questo punto si pu\u00f2 anche decidere di scegliere a caso, tanto \u00e8 irrilevante, no? Il secondo assunto di Arrow \u00e8 che ci si limiti a mettere in ordine i candidati e non si d\u00e0 loro una differenza quantitativa, per esempio dando a ciascun elettore 100 voti da dividere come vuole tra i candidati. Potranno sempre esserci casi eccezionali come quello del paradosso di Condorcet, ma forse in generale si pu\u00f2 avere una soluzione: nessuno ha ancora dimostrato nulla n\u00e9 in un senso n\u00e9 nell’altro.<\/p>\n

    Ma come scrivevo all’inizio, limitarsi al teorema di impossibilit\u00e0 per ricordare Arrow \u00e8 sicuramente riduttivo. La ragione per cui vinse il Nobel per l’economia<\/a> non fu mica quel teorema, ma per il suo lavoro sulla teoria dell’equilibrio economico generale<\/a>, che in due parole afferma che in un mercato dove ci sono pi\u00f9 compratori e venditori di pi\u00f9 merci pu\u00f2 esserci equilibrio tra domanda e offerta anche senza che qualcuno (lo Stato o chi per esso) si metta a definire prezzi e altro. Una versione iniziale del teorema era stata dimostrata da Abraham Wald, ma Arrow la ampli\u00f2 parecchio. Non che il teorema funzioni davvero nel mondo reale: il problema \u00e8 come sempre nelle ipotesi. Nella versione dimostrata da Arrow si suppone che se Tizio vende un prodotto a Caio allora a Sempronio la cosa non importa, ma pensate a cosa succede se nelle sue operazioni Tizio inquina tutto il territorio. In pratica Arrow dopo aver formulato le sue ipotesi pass\u00f2 il resto della sua carriera a cercare di renderle sempre pi\u00f9 generali, per avvicinarsi il pi\u00f9 possibile al mondo reale. Poi ha dimostrato la possibilit\u00e0 pratica della teoria della crescita endogena, nella quale \u00e8 il progresso stesso della tecnologia che fa crescere la qualit\u00e0 della vita senza bisogno di supporre l’esistenza di spinte esterne, e ha studiato i sistemi a informazione asimmetrica, quelli dove c’\u00e8 qualcuno che sa pi\u00f9 degli altri, per vedere se era possibile tutelare la parte pi\u00f9 debole. Insomma, un vero matematico prestato all’economia!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    L’economista era noto a tutti per il suo teorema che rende impossibile la democrazia: ma ha fatto molte altre cose<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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