{"id":989,"date":"2011-08-22T04:04:13","date_gmt":"2011-08-22T03:04:13","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=989"},"modified":"2017-02-17T18:42:55","modified_gmt":"2017-02-17T17:42:55","slug":"risposte-ai-problemini-per-ferragosto-2011","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/22\/risposte-ai-problemini-per-ferragosto-2011\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini per Ferragosto 2011"},"content":{"rendered":"

Non avete risolto i problemini di Ferragosto<\/a>? Non siete convinti delle soluzioni postate nei commenti? Ecco qua le risposte ufficiali!<\/p>\n


\n1. Spaccare in tre<\/b><\/p>\n

\"\"<\/a>La risposta \u00e8 1\/4. La si pu\u00f2 trovare facendo qualche bell’integrale doppio, ma c’\u00e8 un sistema molto pi\u00f9 semplice che usa la carta millimetrata triangolare. Sono quasi certo che nessuno di voi l’abbia vista (io ne avevo comprato alcuni fogli quando stavo al liceo, non so dove siano finiti ma oggid\u00ec basta andare sul web per trovare i modelli pdf: un paio di anni fa avevo postato un paio di indirizzi<\/a>), ed \u00e8 un peccato perch\u00e9 \u00e8 comodissima se si hanno tre variabili la cui somma \u00e8 costante. Un teorema di geometria euclidea afferma infatti che la somma delle distanze di un punto interno al triangolo dai tre lati \u00e8 costante, e un altro teorema – ma quello ve lo ricordate sicuramente – afferma che nessun lato di un triangolo pu\u00f2 essere maggiore della somma degli altri due. Il combinato di questi due teoremi implica che i tre pezzi formano un triangolo solo se il punto corrispondente alla terna di lunghezze nel foglio di carta millimetrata triangolare sta nel triangolo giallo interno, la cui area \u00e8 un quarto di quella del quadrato iniziale.
\nPer la variante del problema, la risposta \u00e8 no, la probabilit\u00e0 \u00e8 diversa. Per vederlo, basta pensare che se per il secondo taglio si sceglie il bastoncino pi\u00f9 piccolo (probabilit\u00e0 1\/2) sicuramente non si pu\u00f2 formare un triangolo, e se si sceglie il bastoncino pi\u00f9 grande la probabilit\u00e0 \u00e8 comunque inferiore a 1\/2.<\/p>\n

2. Al negozietto cinese<\/b><\/p>\n

Il conto deve essere fatto in centesimi, se vogliamo avere numeri interi. Dobbiamo pertanto fattorizzare 711.000.000 = 26<\/sup>·32<\/sup>·56<\/sup>·79 (pi\u00f9 tutti i termini 1 che volete) e suddividerlo in quattro valori la cui somma sia 711. Sappiamo che la somma dei quattro valori \u00e8 711. Dunque almeno due di essi devono poi finire in 0; se ce ne fosse uno solo, non sapremmo come distribuire i fattori 5. Le uniche possibilit\u00e0 per le ultime cifre sono 0,0,0,1 e 0,0,5,6. Dunque il 79 deve essere moltiplicato almeno per 4; ma se lo moltiplichiamo per 5, ottenendo 395, i fattori rimasti sommati a 395 superebbero sicuramente 711.
\nInsomma abbiamo che un oggetto deve costare 79·4=316 centesimi e gli altri tre terminare in 0,0,5, per una somma di 395. Ma la radice cubica del loro prodotto \u00e8 circa 131, il che significa che abbiamo poco spazio per i tentativi; con un po’ di conti si trova che gli altri tre prezzi, sempre espressi in centesimi, sono 120, 125 e 150.<\/p>\n

3. Quadrato e cubo<\/b><\/p>\n

Per evitare di fare troppi conti, si pu\u00f2 innanzitutto notare che il numero deve essere compreso tra 47 e 99 per avere un quadrato di quattro cifre e un cubo di sei. Poi non bisogna verificare i numeri che terminano in 0,1,5,6, visto che il loro quadrato e il loro cubo terminano con la stessa cifra. Inoltre, dato che x2<\/sup>·x3<\/sup> = x2<\/sup>(x+1), sappiamo che x deve essere multiplo di tre oppure dare resto 8 se diviso per 9; \u00e8 l’unico modo in cui il prodotto (la somma delle cui cifre \u00e8 45) sia multiplo di 9. Restano 15 possibilit\u00e0 da provare: con un po’ di pazienza e\/o una calcolatrice si trova che il risultato \u00e8 69, il cui quadrato \u00e8 4761 e il cubo 328509.<\/p>\n

4. Taglia e incolla<\/b>
\n\"\"<\/a>
\nIl disegno qui sopra mostra come si pu\u00f2 suddividere un qualunque rettangolo i cui lati siano in rapporto minore di 2:1 in tre parti che riassemblate formino un quadrato. Il rettangolo di partenza \u00e8 ABCD: si prolunghi AB a un punto E tale che BE=BC, e si costruisca una semicirconferenza di diametro AE, che incontrer\u00e0 il prolungamento di BC in un punto F; la circonferenza di centro B e raggio BF incontra il rettangolo in un punto G, e il segmento BG incontra la semicirconferenza di diametro AB in un punto J. Il quadrato cercato \u00e8 quello di lato AJ, come si pu\u00f2 facilmente verificare notando la congruenza dei triangoli colorati in giallo e in verde.<\/p>\n

5. Quadrato di quadrati<\/b><\/p>\n

\"\"<\/a> Come si pu\u00f2 vedere nelle figure qui a destra, aggiungendo man mano una listella di quadrati unitari a uno di lato n<\/i> si pu\u00f2 costruire un quadrato di lato n<\/i>+1 composto da 2(n<\/i>+1) quadrati, e quindi si possono ottenere tutti i numeri pari maggiori o uguali a 4. Suddividendo ulteriormente un quadrato in quattro parti, e quindi aggiungendo tre quadrati al totale, si possono ottenere tutti i numeri dispari maggiori o uguali a 7. Dato che un quadrato \u00e8 formato da 1 quadrato :-), restano i valori 2, 3 e 5; quest’ultimo \u00e8 dunque il massimo valore possibile, anche se ammetto che non saprei dimostrare al volo l’impossibilit\u00e0 di dividere un quadrato in cinque quadrati (nei casi 2 e 3 \u00e8 facile farlo).
\nIl problema sembra essere stato presentato per la prima volta da Henry Dudeney: se ne parla anche su MathWorld<\/a>.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ecco le risposte ai problemi della settimana scorsa!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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