Sicuramente sapete cosa sono i numeri irrazionali: sono quelli che non possono essere espressi come rapporto (in latino ratio<\/i>) di due numeri interi. Probabilmente sapete anche che la radice quadrata di 2 \u00e8 un numero irrazionale, e magari avete visto anche la dimostrazione relativa, che viene venduta come scoperta di Pitagora. E in effetti c’entra il teorema di Pitagora, applicato a un triangolo rettangolo e isoscele: se i cateti di questo triangolo sono lunghi 1, allora il quadrato dell’ipotenusa \u00e8 2, e pertanto l’ipotenusa stessa \u00e8 √2. La dimostrazione procede per assurdo: se fosse esprimibile come un rapporto a\/b<\/i>, possiamo supporre che a<\/i> e b<\/i> non siano entrambi pari – altrimenti basterebbe dividerli entrambi per il loro massimo comun divisore e ottenere una coppia con quella propriet\u00e0. Ma per definizione (a\/b<\/i>)² = 2, cio\u00e8 a<\/i>² = 2b<\/i>²; quindi a<\/i> \u00e8 pari e b<\/i> dispari. Peccato che a<\/i>² allora dovrebbe essere multiplo di 4, mentre 2b<\/i>² non lo \u00e8.<\/p>\n
Si \u00e8 poi scoperto con Cantor che “quasi tutti” i numeri sono irrazionali, anzi trascendenti: non sono cio\u00e8 radici di un polinomio a coefficienti interi. √2 non \u00e8 trascendente, per esempio, perch\u00e9 \u00e8 una radice di x<\/i>²−2=0. Tra i numeri pi\u00f9 famosi, ci sono π ed e<\/i>, che in effetti sono entrambi trascendenti: ma c’\u00e8 voluto un bel po’ di tempo per scoprirlo. Charles Hermite dimostr\u00f2 la trascendenza di e<\/i> nel 1873, e tra l’altro fu il primo caso di un numero trascendente che non era stato costruito apposta: detto in altri termini, i numeri trascendenti avevano senso e non erano solo dei giochetti a cui i matematici amavano indulgere. Si sapeva per\u00f2 che era un numero irrazionale: la dimostrazione di questo fatto da parte di quel grande giocoliere che era Eulero \u00e8 abbastanza semplice da poter essere raccontata qui. <\/p>\n
Sappiamo che e<\/i> \u00e8 uguale alla somma infinita 1\/0! + 1\/1! + 1\/2! + 1\/3! + …, e quindi \u00e8 maggiore di 2,5 (prendete i primi tre termini della somma) e minore di 3 (la somma \u00e8 minore di 1 + 1\/1 + 1\/2 + 1\/4 + 1\/8 + …). Quindi se \u00e8 esprimibile come una frazione m<\/i>\/n<\/i> sappiamo che n<\/i> \u00e8 maggiore o uguale a 3. Ammesso per assurdo che esista una simile frazione, scriviamo e<\/i> = P<\/i>+Q<\/i>, dove<\/p>\n
P<\/i> = 1\/0! + 1\/1! + 1\/2! + 1\/3! + … + 1\/n<\/i>!<\/p>\n
Q<\/i> = 1\/(n<\/i>+1)! + 1\/(n<\/i>+2)! + 1\/(n<\/i>+3)! + … <\/p>\n
Se ora moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per n<\/i>!, a sinistra abbiamo n<\/i>!e<\/i> = (n<\/i>−1)!m<\/i> che \u00e8 un numero intero; a destra n<\/i>!P<\/i> + n<\/i>!Q<\/i>, e visto che il primo addendo \u00e8 anch’esso intero pure il secondo lo deve essere. Ma n<\/i>!Q<\/i> vale <\/p>\n
1\/(n<\/i>+1) + 1\/(n<\/i>+1)(n<\/i>+2) + 1\/(n<\/i>+1)(n<\/i>+2)(n<\/i>+3) + … <\/p>\n
che \u00e8 minore di <\/p>\n
1\/3 + 1\/(3·3) + 1\/(3·3·3) + … = 1\/2, il che \u00e8 impossibile. Pertanto e<\/i> non pu\u00f2 essere razionale. <\/p>\n
Che dire della dimostrazione? Che sfrutta biecamente il fatto che lo sviluppo in serie infinita di e<\/i> converge davvero in fretta. Eulero non si \u00e8 mai preoccupato troppo di studiare bene i criteri di convergenza di una serie infinita, ma in questo caso – con tutti gli addendi positivi – non c’erano comunque problemi. Certo che non bisogna avere problemi con l’infinito…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
A differenza di pi greco, e \u00e8 pi\u00f9 semplice da trattare, almeno da un punto di vista elementare.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":true,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[117,163],"class_list":["post-901","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-dimostrazioni","tag-numeri-irrazionali"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-ex","jetpack-related-posts":[{"id":2432,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/31\/numeri-razionali-irrazionali-algebrici-e-trascendenti\/","url_meta":{"origin":901,"position":0},"title":"Numeri razionali, irrazionali, algebrici e trascendenti","author":".mau.","date":"31\/08\/2011","format":false,"excerpt":"I numeri pi\u00f9 naturali dopo i naturali sono i razionali. 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