{"id":881,"date":"2016-09-05T04:04:47","date_gmt":"2016-09-05T03:04:47","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=881"},"modified":"2016-09-05T09:06:20","modified_gmt":"2016-09-05T08:06:20","slug":"il-continuo-questo-sconosciuto","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2016\/09\/05\/il-continuo-questo-sconosciuto\/","title":{"rendered":"Il continuo, questo sconosciuto"},"content":{"rendered":"

I numeri corrispondenti ai punti di una retta sono quelli reali. Lo sappiamo tutti. Non ce ne possono essere degli altri, e ci servono proprio tutti perch\u00e9 con i soli razionali ci sono dei buchi, anche se non riusciamo a vederli. Del resto, l’analisi matematica richiede necessariamente i numeri reali (beh, anche gli immaginari, ma non allarghiamoci troppo: si pu\u00f2 anche solo fare analisi reale) e sappiamo bene quali sono i risultati che ci ha dato. Senza numeri reali non ci sono le funzioni, non esiste la nozione di continuit\u00e0, eccetera eccetera. Peccato che le cose non siano poi cos\u00ec semplici come ci hanno fatto credere per tutto questo tempo, forse perch\u00e9 quella parolina “reali” si \u00e8 insinuata nel nostro cervello e ci ha obnubilato. Perch\u00e9 non proviamo a rivedere le cose da un altro punto di vista? <\/p>\n

Innanzitutto, ecco un rapido riassunto di come si \u00e8 arrivati al continuo in matematica. Prima degli antichi greci non pare che nessuno si preoccupasse piu di tanto della cosa. I babilonesi avevano tavolette dove venivano scritti i valori di alcuni numeri periodici e anche irrazionali, come la radice quadrata di due: si scrivevano un po’ di “cifre” (sessagesimali) fino a che non si arrivava a un’approssimazione pi\u00f9 che sufficiente per gli scopi pratici. I greci, come si sa, sono sempre stati pi\u00f9 rompiscatole. Per loro un numero era un rapporto tra due grandezze misurate entrambe mediante un’altra, l’unit\u00e0 di misura. Ma la leggenda vuole che il primo ad accorgersi che non sempre era possibile esprimere un numero mediante un rapporto fu il pitagorico Ippaso di Metaponto. Vero? Falso? Chi lo sa. Per\u00f2 \u00e8 indubbio che qualcuno ci deve essere arrivato, e tanto vale chiamare quel qualcuno Ippaso. \"pentacolo\"<\/a> A scuola tipicamente raccontano che Ippaso aveva dimostrato che non c’era nessuna unit\u00e0 che misurasse la diagonale di un quadrato e il lato del quadrato stesso: noi diremmo che √2 \u00e8 un numero irrazionale. La dimostrazione indicata sfrutta il fatto che un numero non pu\u00f2 essere contemporaneamente pari e dispari. Ma alcuni studiosi ritengono che forse non \u00e8 stato quello il primo irrazionale ad essere stato trovato, e la palma vada al rapporto aureo φ = (1 + √5)\/2. A vederlo cos\u00ec sembra un numero pi\u00f9 complicato di √2, ma in realt\u00e0 non \u00e8 altro che il rapporto tra lato e diagonale di un pentagono: se si disegnano le diagonali si ottiene un pentagono pi\u00f9 piccolo all’interno del primo e con semplici sottrazioni si vede che se il rapporto iniziale fosse tra due interi si giungerebbe a una discesa infinita.<\/p>\n

Qualunque sia stato il primo numero irrazionale trovato e chiunque sia riuscito a dimostrarlo, il risultato pratico fu uno choc dal quale i greci non si riebbero mai, tanto che decisero di fondare tutta la matematica sulla geometria. La teoria dei rapporti che si trova negli Elementi<\/i> di Euclide \u00e8 un lavorone che permette di trattare i numeri irrazionali senza doverli davvero usare. Per duemila anni tutti i matematici, a partire da Archimede fino ad arrivare a Newton (e Leibniz, anche se quest’ultimo era pi\u00f9 interessato alla filosofia e considerava le sue scoperte matematiche pi\u00f9 che altro una proof of concept della validit\u00e0 delle sue idee), si sentirono in dovere di dimostrare geometricamente i risultati che avevano ricavato con mezzi molto pi\u00f9 potenti per quanto non a prova di errore. Nulla di male, intendiamoci. Leggendo un libro di matematica sembra che sia tutto l\u00ec, bello perfettino, senza che ci sia una sbavatura nel filo logico; ma chiunque abbia mai provato a dimostrare qualcosa sa fin troppo bene che per arrivare al risultato vale tutto, e solo quando si sa la risposta si pu\u00f2 cominciare a tirare gi\u00f9 le impalcature e nascondere il proprio lavoro.<\/p>\n

A dire il vero, una differenza tra Archimede e Newton c’\u00e8. Il primo, pur non disdegnando certo le applicazioni della matematica, da buon ellenista preferiva di gran lunga le scoperte teoriche, mentre Newton \u00e8 stato per cos\u00ec dire costretto a divenare un matematico teorico perch\u00e9 aveva bisogno di un metodo per risolvere i problemi di fisica che gli si ponevano davanti. Da qua si pu\u00f2 comprendere come mai il suo approccio all’analisi sia stato piuttosto oscuro, con flussioni e fluenti e i fantasmi di quantit\u00e0 defunte, come Berkeley chiam\u00f2 gli infinitesimi. Non che Leibniz fosse messo meglio da questo punto di vista: per\u00f2 almeno lui usava una notazione pi\u00f9 comprensibile che permetteva di fare vari giochini formali che portavano al risultato, un po’ come scrivere il differenziale come dy<\/i>\/dx<\/i> quasi fosse un vero rapporto: fu cos\u00ec lui a vincere. Entrambi gli approcci dei due grandi analisti, per\u00f2, non si curavano pi\u00f9 di tanto di quali fossero i numeri corrispondenti ai punti di una retta: bastava che datone uno qualsiasi si potesse ricavare il valore corrispondente nella funzione che si stava considerando.<\/p>\n

I matematici per\u00f2 sono brutte bestie, che non si accontentano mai e vogliono generalizzare. Cos\u00ec intorno al 1800 si pens\u00f2 che le funzioni erano interessanti indipendentemente da una loro eventuale origine fisica e ci si mise a studiarle senza pi\u00f9 nessun sottofondo fisico. Ben presto ci si accorse che gli assunti su cui si basava l’analisi, quelli di continuit\u00e0 e derivabilit\u00e0, non erano mica cos\u00ec indiscutibili come si pensava. Iniziarono a spuntare funzioni che non si “comportavano bene”; si prov\u00f2 a dire che erano patologiche, ma poi ci si accorse che erano la norma, se si definisce una funzione come un qualcosa che associa a un valore un altro valore senza nessun altro vincolo. Occorreva un pugno di ferro per riportare la situazione in riga: non \u00e8 certo un caso che il primo a dedicarsi seriamente a questo lavoro fu un bigotto reazionario come Cauchy, che con le successioni che hanno poi preso il suo nome diede una prima definizione valida di numero reale e soprattutto tir\u00f2 fuori la definizione di continuit\u00e0 con epsilon e delta – che elimina formalmente il ricorso all’infinito sfruttando appunto una successione di valori sempre pi\u00f9 vicini – che usiamo ancora oggi. Il quadro si complet\u00f2 con Dedekind, che finalmente diede una definizione formale di numero reale con i suoi tagli. <\/p>\n

Per Dedekind si prende una propriet\u00e0 dei numeri (razionali) che o \u00e8 vera o \u00e8 falsa, e tale che se \u00e8 vera per r<\/i> lo \u00e8 anche per tutti gli s<r<\/i> mentre se \u00e8 falsa per r<\/i> lo \u00e8 anche per tutti i t>r<\/i>. In pratica abbiamo suddiviso tutti i numeri razionali in due insiemi, tali che tutti gli elementi del primo sono minori di tutti gli elementi del secondo. Bene, si possono dare tre casi. L’insieme inferiore ha un elemento massimo, e quello superiore non ha un minimo. (Esempio di propriet\u00e0: “Il quadrato del numero razionale scelto \u00e8 minore o uguale a 1.”) L’insieme superiore ha un elemento minimo, e quello inferiore non ha un massimo (“Il quadrato del numero razionale scelto \u00e8 minore di 1.”) L’insieme superiore non ha elemento minimo, e quello inferiore non ha elemento massimo. (“Il quadrato del numero razionale scelto \u00e8 minore o uguale a 2.”) Nei primi due casi si associa il numero razionale che \u00e8 l’elemento limite al taglio, dimostrando che va bene in entrambi i casi; nel terzo caso si crea un numero (irrazionale) definito dalla propriet\u00e0 in questione. Certo, poi bisogna mettersi a dimostrare che queste definizioni sono coerenti con quello che ci aspettiamo dai numeri reali per cos\u00ec dire ingenui: la cosa \u00e8 un po’ noiosa ma non richiede grandi capacit\u00e0 di astrazione. <\/p>\n

A questo punto il gioco \u00e8 fatto: abbiamo riempito lo spazio tra i numeri razionali infilando dentro tutti questi nuovi numeri. Notate che Dedekind giustamente defin\u00ec il suo come assioma<\/b> di continuit\u00e0, senza pretendere di dimostrarlo, e accontentandosi del fatto che non c’erano pi\u00f9 buchi nella retta. Ci penser\u00e0 Georg Cantor a scoprire che il terzo caso del suo amico in realt\u00e0 capita quasi sempre; detto in termini pi\u00f9 comprensibili, i numeri irrazionali sono infinitamente pi\u00f9 di quelli razionali, perch\u00e9 non possiamo proprio contarli. Ma delle conseguenze di questo parler\u00f2 un’altra volta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Il concetto di continuo \u00e8 piuttosto difficile da definire.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[157,156],"class_list":["post-881","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-continuo","tag-fondamenti-della-matematica"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-ed","jetpack-related-posts":[{"id":2275,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/06\/10\/ci-sono-infiniti-piu-infiniti\/","url_meta":{"origin":881,"position":0},"title":"Ci sono infiniti “pi\u00f9 infiniti”!","author":".mau.","date":"10\/06\/2010","format":false,"excerpt":"Il metodo diagonale di Cantor mostra che ci sono diversi tipi di infiniti, e ne costruisce esplicitamente uno, se si ha una pazienza infinita. 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