{"id":821,"date":"2011-05-01T04:00:31","date_gmt":"2011-05-01T03:00:31","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=821"},"modified":"2016-06-08T18:23:49","modified_gmt":"2016-06-08T17:23:49","slug":"risposte-ai-problemini-pasquali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/05\/01\/risposte-ai-problemini-pasquali\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini pasquali"},"content":{"rendered":"

Ecco le risposte ai problemi della scorsa settimana<\/a>, per chi non avesse avuto voglia o coraggio di leggere i commenti!<\/p>\n

Per la cronaca, i primi quattro problemi sono tratti dalla 2011 Daily Puzzle Challenge<\/a> del National Council of Teachers of Mathematics, mentre il quinto \u00e8 un classico di Henry Dudeney. <\/p>\n

<\/p>\n

1. Siamo nel 2011<\/b>
\nLa soluzione \u00e8
\n1+2345*6\/7
\nLe parentesi non servono, visto che la priorit\u00e0 dell’addizione \u00e8 minore di quella di moltiplicazione e divisione.<\/p>\n

Si accendano le luci!<\/b>
\n(a) Dato un numero qualsiasi N<\/i>, i custodi che azioneranno l’interruttore corrispondente sono quelli che hanno un numero che \u00e8 un fattore del numero dato. Ma per ogni k<\/i> che \u00e8 fattore di N<\/i>, per definizione anche N\/k<\/i> \u00e8 un fattore di N<\/i>, quindi ogni interruttore viene azionato un numero pari di volte… tranne nel caso in cui N<\/i> sia un quadrato perfetto, perch\u00e9 N\/√k<\/i> \u00e8 associato a s\u00e9 stesso. Quindi le lampadine accese corrispondono ai numeri che sono quadrati perfetti, cio\u00e8 1, 4, 9, 16 e 25.
\n(b) \u00c8 chiaro che il custode numero 1 non ha scioperato, visto che la lampadina corrispondente \u00e8 accesa. Lo stesso vale per i numeri primi da 2 in poi, visto che nessun altro avrebbe potuto spegnere le lampadine corrispondenti; e a questo punto tutti i prodotti di numeri primi diversi non hanno potuto scioperare (lo si dimostra per induzione sul numero di fattori del prodotto, vi fidate o lo devo spiegare nei commenti?) In compenso tutti i numeri quadrati perfetti hanno scioperato (il numero di fattori distinti di k<\/i>2<\/sup> \u00e8 3, ma visto che 1 e k<\/i> hanno lavorato il terzo deve avere scioperato), e di nuovo si dimostra per induzione che anche i loro multipli hanno scioperato. Quindi la risposta \u00e8 \u00abhanno scioperato i custodi il cui numero, fattorizzato, contiene un quadrato diverso da 1\u00bb: 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28. Undici su 30, poco pi\u00f9 del 35%: non so se lo sciopero sia stato un successo.<\/p>\n

3. L\u2019ago nel pagliaio<\/b>
\nCi sono parole di sei lettere come PAGODA e BAOBAB, ma la parola pi\u00f9 lunga che io sia riuscito a trovare \u00e8 ADDOBBO. <\/p>\n

4. Tre volte tre<\/b>
\nL’addizione era facile: 3+3+3=9. Per le altre operazioni:
\nsottrazione: 33!<\/sup> – (3!)!
\nmoltiplicazione: √(33<\/sup> * 3)
\ndivisione: 33<\/sup> \/ 3<\/p>\n

5. Acqua, luce e gas<\/b>
\nLa chiave per riuscire a risolvere il problema (a parte modificare l’universo in modo tale che non sia pi\u00f9 una superficie sferica ma la superficie di una ciambella…) \u00e8 accorgersi che le case non sono puntiformi, e nulla nel testo del problema vieta di far passare la conduttura attraverso una casa<\/b>. La figura qui sotto mostra una possibile soluzione.
\n\"\"<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Le risposte ai problemini della scorsa settimana<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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