{"id":815,"date":"2012-08-22T04:00:29","date_gmt":"2012-08-22T03:00:29","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=815"},"modified":"2016-06-04T22:41:54","modified_gmt":"2016-06-04T21:41:54","slug":"risposte-ai-problemini-per-ferragosto-2012","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/08\/22\/risposte-ai-problemini-per-ferragosto-2012\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini per Ferragosto 2012"},"content":{"rendered":"

Ecco le risposte ai problemini della settimana scorsa!<\/a> <\/p>\n

1. Teletrasporto<\/strong><\/p>\n

Anche se sembra incredibile, l’ingresso nel Canale di Panama dall’Atlantico \u00e8 pi\u00f9 a ovest di quello dal Pacifico: controllate pure su un atlante. Pertanto \u00e8 naturale che dopo un’ora dall’uscita dal canale ci si trovi (ancora) nell’Oceano Pacifico!<\/p>\n

2. Giro del cavallo in edizione ridotta<\/strong><\/p>\n

Non \u00e8 possibile un giro rientrante. Un giro completo \u00e8 invece possibile: 1 – 8 – 3 – 4 – 11 – 6 – 7 – 12 – 5 – 10 – 9 – 2.<\/p>\n

3. Crimine efferato<\/strong><\/p>\n

\u00c8 vero che la probabilit\u00e0 che una persona presa a caso abbia una compatibilit\u00e0 con il test del DNA \u00e8 una su un milione. Ma quello che noi dobbiamo calcolare \u00e8 la probabilit\u00e0 condizionata che l’imputato abbia commesso il crimine sapendo che il DNA coincide<\/i>. Visto che sono dieci le persone con la stessa compatibilit\u00e0, la probabilit\u00e0 condizionata vale 1 su 10, cio\u00e8 il 10%.
\nSe non ci sono altri indizi a carico dell’imputato, direi che la colpevolezza non \u00e8 “al di l\u00e0 di ogni ragionevole dubbio”…<\/p>\n

4. Calzini spaiati<\/strong><\/p>\n

La probabilit\u00e0 \u00e8 esattamente la stessa, e questo vale per qualunque numero pari di calzini. La dimostrazione si ottiene per induzione. Con due calzini la cosa si vede facilmente: c’\u00e8 una possibilit\u00e0 su quattro che siano entrambi bianchi, una su quattro che siano entrambi blu, e due su quattro che siano di colori diversi.
\nNel caso generale, iniziamo a notare come al pi\u00f9 si possa avere una sola coppia di calzini spaiati. Supponiamo ora che sappiamo che con 2N<\/i> calzini la probabilit\u00e0 che siano tutti accoppiati sia 1\/2, e vediamo cosa succede nel caso 2N<\/i>+2. In un caso su due i 2N<\/i> calzini sono tutti accoppiati, e abbiamo visto sopra che gli altri due saranno appaiati nella met\u00e0 dei casi e spaiati nell’altra met\u00e0. Nell’altro caso i conti sono opposti: se i due nuovi calzini sono spaiati si appaieranno, mentre se erano in coppia ci rimarranno i due calzini iniziali.<\/p>\n

Ma \u00e8 molto pi\u00f9 semplice, come scritto da Fabrizio nei commenti, considerare cosa succede con 2N<\/i>-1 calzini! Ce ne sar\u00e0 uno e uno solo spaiato: devono essere un numero dispari, e presi tre calzini due devono per forza accoppiarsi. Aggiungendo l’ultimo, i casi sono due ed equiprobabili: \u00e8 dello stesso colore di quello spaiato oppure no.<\/p>\n

5. Caramelle per tutti<\/strong><\/p>\n

Dimostrer\u00f2 un risultato pi\u00f9 generale: per un qualunque numero di persone n<\/i> e di caramelle iniziali P<\/i>, se tutti hanno un numero pari di caramelle, a ogni passo ne danno met\u00e0 al vicino di destra ed eventualmente ricevono una caramella per averne un numero pari, prima o poi tutti ne avranno lo stesso numero.
\nInnanzitutto vediamo che il numero massimo di caramelle che ha una singola persona non pu\u00f2 crescere da un passo all’altro. Infatti se a un certo passo questo numero \u00e8 C<\/i>, chi ha C<\/i> caramelle al passo successivo non ne pu\u00f2 avere di pi\u00f9, e chi ne aveva meno di C<\/i> al massimo ne avr\u00e0 C<\/i> (nel caso ne avesse C<\/i>-2, e il vicino di sinistra C<\/i>; in questo caso viene assegnata una caramella)
\nIn secondo luogo, supponiamo che a un certo passo il numero minore di caramelle per una persona sia c<\/i>. Se c’\u00e8 una sola persona che ha c<\/i> caramelle, al passo successivo tutti ne avranno di pi\u00f9: se ce ne fosse pi\u00f9 di una, prendiamo una catena di persone sedute una accanto all’altra, tutte con c<\/i> caramelle. Se la catena \u00e8 formata da tutte le persone abbiamo dimostrato la tesi; altrimenti la persona pi\u00f9 a sinistra al turno successivo avr\u00e0 pi\u00f9 di c<\/i> caramelle e quella dopo quella pi\u00f9 a destra ne avr\u00e0 sempre almeno c<\/i>+2. Quindi il numero totale di persone con c<\/i> caramelle diminuir\u00e0, e prima o poi si arriver\u00e0 a ridurre la catena a una singola persona. Pertanto, fintantoch\u00e9 tutte le persone non hanno lo stesso numero di caramelle la ridistribuzione continuer\u00e0.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dopo i problemi, le risposte…<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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