{"id":799,"date":"2013-08-22T04:00:51","date_gmt":"2013-08-22T03:00:51","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=799"},"modified":"2016-05-31T20:50:53","modified_gmt":"2016-05-31T19:50:53","slug":"risposte-ai-problemi-di-ferragosto-2013","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/08\/22\/risposte-ai-problemi-di-ferragosto-2013\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemi di ferragosto 2013"},"content":{"rendered":"<p>Ecco qua le risposte ai <a href=\"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2013\/08\/15\/problemi-per-ferragosto-2013\/\">problemi della settimana scorsa<\/a>.<\/p>\n<p><b>1. Interi<\/b><\/p>\n<p>La somma (<i>n<\/i>\/3)+(<i>n<\/i><sup>2<\/sup>\/2)+(<i>n<\/i><sup>3<\/sup>\/6) pu\u00f2 essere scritta come (2<i>n<\/i> + 3<i>n<\/i><sup>2<\/sup> + <i>n<\/i><sup>3<\/sup>)\/6. Fattorizzando il numeratore otteniamo <i>n<\/i>(<i>n<\/i>+1)(<i>n<\/i>+2)\/6. Visto che in ogni terna di numeri interi consecutivi c&#8217;\u00e8 un numero pari e un multiplo di 3, il loro prodotto deve essere un multiplo di 6, e quindi la somma \u00e8 un intero. <\/p>\n<p><b>2. Partizioni<\/b><\/p>\n<p>Dividete gli interi da 1 a 2<i>n<\/i> nelle coppie (1,2), (3,4), &#8230;, (2<i>n<\/i>&minus;1,2<i>n<\/i>). Se nel nostro sottoinsieme abbiamo <i>n<\/i>+1 elementi, per il principio dei cassetti ci sar\u00e0 una delle coppie che avr\u00e0 entrambi gli elementi selezionati; questi due elementi sono primi tra loro.<\/p>\n<p><b>3. Partizioni 2<\/b><\/p>\n<p>Scriviamo i numeri da 1 a 2<i>n<\/i> nel formato <i>d<\/i>&middot;2<sup><i>k<\/i><\/sup>, dove <i>d<\/i> \u00e8 un numero dispari, e costruiamo gli insiemi che hanno lo stesso <i>d<\/i>; per esempio, con i numeri da 1 a 30 avremo (1,2,4,8,16), (3,6,12,24), (5,10,20), (7,14,28), (9,18), (11,22), (13,26), (15,30), (17), (19), (21), (23), (25), (27), (29). Visto che ciascuno di questi insiemi \u00e8 associato a un numero dispari inferiore a 2<i>n<\/i>, sappiamo che ce ne sono <i>n<\/i>: quindi ci sar\u00e0 almeno uno di questi sottoinsiemi che conterr\u00e0 due numeri del nostro insieme di base. Ma visto che presi due numeri distinti in uno qualunque degli insiemi uno \u00e8 multiplo dell&#8217;altro, siamo a posto.<\/p>\n<p><b>4. Divisori a pezzi<\/b><br \/>\nIl numero pi\u00f9 grande con quei vincoli \u00e8 3608528850368400786036725, con ben 25 cifre. Per la cronaca, esistono 20456 numeri di questo tipo, e il pi\u00f9 piccolo \u00e8 ovviamente 1.<\/p>\n<p><b>5. Lego<\/b><\/p>\n<p>Innanzitutto \u00e8 chiaro che i due pezzi verticali devono essere sulle stesse due righe, perch\u00e9 altrimenti la prima e la terza riga resterebbero con un numero dispari di quadratini e non possono essere riempiti da rettangoli di lunghezza 2. Questo significa che il problema si riconduce a calcolare come si possono mettere i due rettangoli verticali e riempire una scatola 52&times;2, e poi raddoppiare il risultato trovato (i due pezzi possono essere sulle righe 1 e 2, oppure su 2 e 3).<br \/>\nIl rettangolo di sinistra pu\u00f2 essere messo sulla colonna 1, 3, 5, &#8230; 51, cio\u00e8 in 26 modi diversi. Quello di destra potr\u00e0 stare rispettivamente in 26, 25, 24, &#8230; 1 posizione, quindi il numero totale di configurazioni possibili sar\u00e0 351&times;2 = 702.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Le solite cinque risposte<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[26],"class_list":["post-799","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-problemi"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-cT","jetpack-related-posts":[{"id":2468,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/31\/risposte-ai-problemini-natalizi-2011\/","url_meta":{"origin":799,"position":0},"title":"Risposte ai problemini natalizi 2011","author":".mau.","date":"31\/12\/2011","format":false,"excerpt":"Le risposte ai problemini natalizi!","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2011\/12\/8fiammiferi-risp.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2598,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/26\/parilandia\/","url_meta":{"origin":799,"position":1},"title":"Parilandia","author":".mau.","date":"26\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Noi diamo per scontata la fattorizzazione unica, ma non \u00e8 sempre cos\u00ec.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":388,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/09\/09\/induzione-alla-rovescia\/","url_meta":{"origin":799,"position":2},"title":"Induzione alla rovescia","author":".mau.","date":"09\/09\/2014","format":false,"excerpt":"Chi ha mai detto che l'induzione pu\u00f2 solo andare in su?","rel":"","context":"In \"didattica\"","block_context":{"text":"didattica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/didattica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":1391,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2019\/01\/01\/risposte-ai-quizzini-di-natale-2018\/","url_meta":{"origin":799,"position":3},"title":"Risposte ai quizzini di Natale 2018","author":".mau.","date":"01\/01\/2019","format":false,"excerpt":"I problemi arrivavano dalla Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (anni 1995 e 1996) 1. Non essere ottusi Se n \u00e8 il pi\u00f9 piccolo intero dell'insieme e m il pi\u00f9 grande, abbiamo che m \u2265 n+99. Perch\u00e9 il triangolo isoscele di lati n, n, m (il pi\u00f9 ottuso possibile) non sia ottusangolo occorre\u2026","rel":"","context":"In \"quizzini\"","block_context":{"text":"quizzini","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/quizzini\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2019\/01\/t364a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2662,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/12\/31\/risposte-ai-problemini-per-natale-2015\/","url_meta":{"origin":799,"position":4},"title":"Risposte ai problemini per Natale 2015","author":".mau.","date":"31\/12\/2015","format":false,"excerpt":"Ricordate i problemi di venerd\u00ec scorso? Eccovi le soluzioni! (avevate visto, vero, che passando col mouse tenendo schiacciato il pulsante appariva l'aiutino?) 1. Fibonacci Per un qualunque intero m, i valori della successione di Fibonacci modulo m prima o poi si devono ripetere: banalmente, ci sono solo m2 possibili coppie\u2026","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":542,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/04\/12\/risposte-ai-problemini-per-pasqua-2015\/","url_meta":{"origin":799,"position":5},"title":"Risposte ai problemini per Pasqua 2015","author":".mau.","date":"12\/04\/2015","format":false,"excerpt":"per chi non ha ancora trovato le risposte...","rel":"","context":"In \"problemi\"","block_context":{"text":"problemi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/problemi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/799","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=799"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/799\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":804,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/799\/revisions\/804"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=799"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=799"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=799"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}