{"id":75,"date":"2013-12-31T00:01:32","date_gmt":"2013-12-30T23:01:32","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=75"},"modified":"2022-10-11T12:57:31","modified_gmt":"2022-10-11T10:57:31","slug":"risposte-ai-problemini-di-natale-2013","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/12\/31\/risposte-ai-problemini-di-natale-2013\/","title":{"rendered":"Risposte ai problemini di Natale 2013"},"content":{"rendered":"

Non avete risolto i problemini di Natale<\/a>? Nema problema: ecco qui le risposte.<\/p>\n

1. Somme di tre quadrati<\/b><\/p>\n

La propriet\u00e0 si dimostra per induzione, ma in maniera un po’ peculiare. Infatti, se sappiamo che esistono tre numeri x<\/i>, y<\/i>, z<\/i> tali che 9·2m<\/i><\/sup> = x<\/i>2<\/sup> + y<\/i>2<\/sup> + z<\/i>2<\/sup>, allora 9·2m<\/i>+2<\/sup> = 4(x<\/i>2<\/sup> + y<\/i>2<\/sup> + y<\/i>2<\/sup>) = (2x<\/i>)2<\/sup> + (2y<\/i>)2<\/sup> + (2z<\/i>)2<\/sup>. Con i due<\/b> passi iniziali m<\/i>=0 e m<\/i>=1 abbiamo la nostra tesi.<\/p>\n

(il problema originale<\/a>)<\/p>\n

Post Scriptum:<\/b> Stefano Bonaccorsi d\u00e0 una dimostrazione pi\u00f9 carina<\/a>. Scriviamo il numero in base 2: sar\u00e0 1001 seguito da un certo numero di zeri. I casi possibili sono dunque, dividendo le cifre del numero in coppie: 10|01|00|…|00 oppure 1|00|10|00|…|00. In ciascun caso possiamo scrivere il numero come la somma di 1|00|…|00 (un quadrato perfetto) e 10|00|…|00 (la somma di due quadrati perfetti uguali).
\nIl bello di questa dimostrazione \u00e8 che la si applica pari pari al dimostrare per esempio che i numeri della forma 129m<\/i>2<\/sup> sono esprimibili come somma di tre quadrati.<\/p>\n

2. Lettura del pensiero<\/b><\/p>\n

Una possibile domanda di Barbara che non coinvolga matematica troppo avanzata \u00e8 “Anch’io sto pensando un numero, che \u00e8 0 oppure 1. La somma dei nostri numeri \u00e8 maggiore di 2?” Se Andrea ha pensato 1, la risposta \u00e8 “no”. Se ha pensato 3, la risposta \u00e8 “s\u00ec. Se ha pensato 2, la risposta \u00e8 “non so”. <\/p>\n

(il problema originale<\/a>)<\/p>\n

3. Sequenza<\/b><\/p>\n

Il numero successivo (come del resto tutti<\/b> i numeri successivi) \u00e8 27. Infatti ogni termine della sequenza \u00e8 ottenuto sommando le cifre di quello precedente e triplicando il risultato.<\/p>\n

(il problema originale<\/a>)<\/p>\n

4. Quadrati ripieni<\/b><\/p>\n

I numeri della successione sono i quadrati di 7, 67, 667, 6667… La seguente serie puramente algebrica di uguaglianze d\u00e0 la soluzione.<\/p>\n

\"49\"<\/p>\n

Per curiosit\u00e0, sembra che il problema sia apparso per la prima volta nel numero di ottobre 1889 del Journal de Math\u00e9matiques El\u00e9mentaires, ed \u00e8 attribuito a tal F. Briganti della “Ecole de industrielle” di Fermo.<\/p>\n

(il problema originale<\/a>)<\/p>\n

5. Vero o falso?<\/b><\/p>\n

Se B mente, allora C deve dire la verit\u00e0, e quindi A deve mentire, il che \u00e8 assurdo perch\u00e9 allora B dovrebbe dire la verit\u00e0.
\nQuindi B dice il vero, e dunque C mente. Notate che il fatto che C menta non ci dice nulla di A; per\u00f2 visto che A dice che B mente \u00e8 chiaro che anche A mente.
\nPertanto A e C mentono, e B dice la verit\u00e0.<\/p>\n

(il problema originale<\/a>)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Le risposte ai problemini natalizi.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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