{"id":672,"date":"2015-12-03T14:36:43","date_gmt":"2015-12-03T13:36:43","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=672"},"modified":"2022-10-11T13:45:53","modified_gmt":"2022-10-11T11:45:53","slug":"teoremi-e-probabilita","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/12\/03\/teoremi-e-probabilita\/","title":{"rendered":"Teoremi e probabilit\u00e0"},"content":{"rendered":"

Siete in pizzeria, e state aspettando che finalmente arrivi la vostra rinforzata doppia con mozzarella di bufala. Tanto per passare il tempo, il vostro amico tira fuori dieci monetine da cinque centesimi e vi dice che in qualunque modo voi disegniate dieci punti sulla tovaglietta di carta lui riuscir\u00e0 a posizionare le monete in modo da coprire tutti e dieci i punti senza sovrapporre anche parzialmente nessuna moneta. Voi cominciate a pensarci un po’ su. Se disegnate i dieci punti ben distanti tra di loro, l’amico metter\u00e0 una moneta sopra ogni punto. Se li disegnate troppo vicini, con una moneta riuscir\u00e0 a coprirli tutti, e poi piazzer\u00e0 le altre nove come vuole. Bisogna insomma trovare una via di mezzo: ma quale?<\/p>\n

Non perdete tempo a cercare di trovare una configurazione di punti: non ne esiste nessuna. Questo problema \u00e8 stato ideato da Naoki Inaba nel 2008, e ha una dimostrazione molto semplice da seguire, anche se non so a chi possa essere venuta in mente: io non ci sarei mai arrivato. La cosa pi\u00f9 strana \u00e8 che tale dimostrazione \u00e8 di tipo probabilistico<\/b>. Ma come? Un teorema \u00e8 la quintessenza della certezza: come \u00e8 possibile dimostrarlo usando le probabilit\u00e0? Beh, il trucco \u00e8 usarle nel modo corretto… Vediamo dunque come si dimostra il teorema “Dati dieci punti in un piano, \u00e8 sempre possibile trovare un ricoprimento dei punti con dieci cerchi di raggio 1 che non si sovrappongono nemmeno parzialmente”. Naturalmente il raggio pu\u00f2 essere fissato a una misura a piacere: basta ingrandire o rimpicciolire la configurazione dei punti<\/p>\n

\"cerchi\"<\/a> Per prima cosa cominciamo a ricoprire il piano con un numero infinito di cerchi, posti in un reticolo esagonale come nella figura qui a fianco. \u00c8 immediato verificare la porzione del piano ricoperta dalle monete \u00e8 il rapporto tra l\u2019area di un cerchio e quella di un esagono regolare di apotema 1, vale a dire \u03c0\/(6\/\u221a3) che \u00e8 pari a circa 0,9069. Data ora una qualunque configurazione di dieci punti nel piano, consideriamo un ricoprimento del piano con un reticolo esagonale, come quello appena visto. Per ciascun punto i<\/em>, consideriamo la variabile aleatoria Xi<\/em><\/sub> che vale 1 quando il punto i<\/em> \u00e8 ricoperto da un cerchio e 0 altrimenti. Il valore atteso di Xi<\/em><\/sub>, cio\u00e8 la probabilit\u00e0 che il punto sia ricoperto da un cerchio, \u00e8 E[Xi<\/em><\/sub>] = Pr(Xi<\/em><\/sub> = 1) \u2248 0,9069. Essendo i punti indipendenti tra loro, il valore atteso per il numero totale di punti ricoperti sar\u00e0 la somma dei vari E[Xi<\/em><\/sub>], cio\u00e8 circa 9,069. Consideriamo ora tutti<\/strong> i ricoprimenti possibili del piano con un reticolo esagonale di cerchi, come quello che abbiamo visto sopra. Se nessuno di questi ricoprimenti contenesse tutti e dieci i punti, la media di punti ricoperti potrebbe essere al pi\u00f9 9: ma noi sappiamo che \u00e8 maggiore di 9. Questo significa, come spiega bene il principio dei cassetti, che deve esistere almeno un ricoprimento che contenga tutti i punti. La dimostrazione non \u00e8 costruttiva, e quindi forse potete in effetti mettere in serie difficolt\u00e0 il vostro amico, ma matematicamente parlando non lascia adito a dubbi.<\/p>\n

La probabilit\u00e0 insomma si usa, ma in un senso per cos\u00ec dire tangenziale. D’altra parte, se rileggiamo il testo dell’affermazione che vogliamo dimostrare, noi non partiamo dal reticolo di cerchi, ma dalla configurazione di punti. Chi non \u00e8 ancora del tutto convinto della cosa pu\u00f2 anche leggere le risposte a questa domanda<\/a> su Math StackExchange. Tra l’altro, non \u00e8 noto quale sia il numero massimo di punti N che pu\u00f2 essere ricoperto da N cerchi uguali non sovrapposti: l\u2019articolo \u201cCovering Points with Disjoint Unit Disks\u201d<\/a> dimostra che tale numero \u00e8 compreso tra 13 e 45, e una forchetta cos\u00ec ampia \u00e8 indice del fatto che il problema non \u00e8 esattamente banale: per\u00f2 la dimostrazione di questo caso \u00e8 cos\u00ec bella che si pu\u00f2 perdonare questa pecca.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sembrano due concetti agli antipodi, eppure si possono dimostrare alcuni teoremi con metodi probabilistici.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[117,12],"class_list":["post-672","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-dimostrazioni","tag-probabilita"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-aQ","jetpack-related-posts":[{"id":190,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/16\/il-paradosso-di-san-pietroburgo\/","url_meta":{"origin":672,"position":0},"title":"Il paradosso di san Pietroburgo","author":".mau.","date":"16\/07\/2010","format":false,"excerpt":"Da un banale gioco a testa o croce non solo si pu\u00f2 arrivare a una vincita potenzialmente infinita, ma addirittura la vincita media \u00e8 infinita!","rel":"","context":"In \"paradossi\"","block_context":{"text":"paradossi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/paradossi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":184,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/11\/13\/il-paradosso-di-penney\/","url_meta":{"origin":672,"position":1},"title":"Il paradosso di Penney","author":".mau.","date":"13\/11\/2010","format":false,"excerpt":"In generale nei giochi a due persone \u00e8 chi fa la prima mossa a essere avvantaggiato; 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