{"id":654,"date":"2015-11-04T21:36:11","date_gmt":"2015-11-04T20:36:11","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=654"},"modified":"2015-11-05T15:58:54","modified_gmt":"2015-11-05T14:58:54","slug":"moltiplicazione-e-commutativita","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2015\/11\/04\/moltiplicazione-e-commutativita\/","title":{"rendered":"Moltiplicazione e commutativit\u00e0"},"content":{"rendered":"

Ripensando al post precedente<\/a>, dove mi chiedevo retoricamente se 3×5 fosse davvero uguale a 5×3, ho pensato che forse potrebbe essere utile fare un ripasso generale, vedendo le cose in modo un po’ diverso da quello che si fa a scuola. Pensateci su un attimo: perch\u00e9 3×5 e 5×3 sarebbero la stessa cosa? Anzi, forse \u00e8 meglio partire da una domanda precedente: cos’\u00e8 esattamente la moltiplicazione? <\/p>\n

\"moltiplicazione-ita\"<\/a>
\n\"moltiplicazione-eng\"<\/a><\/p>\n

Partiamo da quello che viene insegnato alle elementari: la moltiplicazione \u00e8 un’addizione ripetuta. Una specie di scorciatoia, insomma. La cosa divertente \u00e8 che Wikipedia in italiano<\/a> e in inglese<\/a> non concordano su quale<\/b> sia l’addizione da ripetere. Gli italiani sommano il primo termine, mentre gli inglesi sommano il secondo: questo probabilmente deriva da come pronunciamo<\/b> la moltiplicazione. In inglese si dice “five times three”, letteralmente “cinque volte tre”. In italiano diciamo “cinque per tre (volte)”. Ma quello che \u00e8 davvero importante \u00e8 che nessuno ci assicura a priori che i due risultati siano uguali! Da questo punto di vista l’insegnante che ha segnato come errore 5+5+5 ha insomma ragione, se non ha ancora dimostrato agli studenti che vale quell’uguaglianza. E come lo si dimostra? Semplice: si fa il disegnino. Purtroppo il fatto stesso che i due fattori si chiamino in modo diverso (moltiplicatore<\/i> e moltiplicando<\/i>) contribuisce a non rendere immediata la cosa e fa richiedere una dimostrazione, ancorch\u00e9 semplicissima. Almeno a prima vista prendere tre mele per cinque volte a prima vista non sembra infatti lo stesso che prendere cinque mele per tre volte.<\/p>\n

\"3x5\" Ecco qua. Basta ruotare di 90 gradi il rettangolo 5×3, quello rosso in basso, e otteniamo un rettangolo 3×5, quello blu in alto. Tra l’altro, questo \u00e8 il modo in cui immagino sia nato l’idea stessa di commutativit\u00e0 della moltiplicazione ai tempi degli antichi greci (Euclide usa il concetto negli Elementi<\/i>, anche se non lo esplicita: tutta questa storia di definizioni nasce nel XIX secolo quando si comincia a formalizzare l’aritmetica come base della matematica). Mettere i sassolini in una direzione o nell’altra cambia poco, ed \u00e8 per questo che io continuo ad avere fortissimi dubbi sull’errore segnato al ragazzo per aver invertito righe e colonne. Dal mio punto di vista gli schieramenti<\/em> – mi dicono che \u00e8 il termine tecnico per queste configurazioni – sono uguali da qualunque parte li si veda. Certo che con l’addizione \u00e8 tutto pi\u00f9 facile. \u00c8 immediato che prendere tre mele e poi aggiungerne altre cinque \u00e8 la stessa cosa che prendere cinque mele e poi aggiungerne tre, no?<\/p>\n

No. Nella vita reale ci sono casi in cui se bisogna aggiungere due cose A<\/i> e B<\/i> occorre fare attenzione all’ordine. La cosa si nota soprattutto in cucina: conscio della mia ignoranza nel campo ho chiesto al mio social network di riferimento<\/a> di trovarmi qualche esempio e mi \u00e8 stato detto che <\/p>\n