Dell’infinito si pu\u00f2 parlare all’infinito, mi sa. E non \u00e8 detto che ci si riesca a mettere d’accordo. D’altro canto, ho sempre dei dubbi che degli esseri finiti come noi possano effettivamente concepire l’infinito: ma qui scivoliamo nella filosofia che non \u00e8 esattamente il mio forte. Prima di parlare dell’infinito usato in matematica negli ultimi 120 anni, penso per\u00f2 che sia utile vedere come ci si approcciava in passato.<\/p>\n
Egizi e babilonesi, ma nemmeno maya, indiani e cinesi, non hanno mai avuto problemi con l’infinito, perch\u00e9 non lo concepivano neppure. Loro risolvevano problemi, e i problemi sono tendenzialmente finiti. I primi a parlare dell’infinito in matematica (e in filosofia) sono stati i greci, e anche loro hanno fatto di tutto per evitarlo: non per nulla nemmeno i loro dei sono onnipotenti. Ma come, dir\u00e0 qualcuno, Euclide non mette addirittura come postulato che la retta \u00e8 infinita? Per nulla. Il testo originale dice che una retta pu\u00f2 essere prolungata secondo necessit\u00e0. Insomma, nelle costruzioni geometriche si usano solamente segmenti di lunghezza finita, come del resto in effetti succede. Anche il famigerato quinto postulato, quello delle parallele, non parla affatto di parallele! La formulazione euclidea afferma che, date due rette e una terza che le tagli entrambe, prolungando<\/i> le due rette esse si incontreranno dal lato in cui la terza forma con loro due angoli la cui somma \u00e8 meno di due angoli retti. Tutto questo si pu\u00f2 riassumere dicendo che i greci usano solo l’infinito potenziale<\/b>: cio\u00e8 si possa far crescere a piacere una quantit\u00e0 pur rimanendo sempre belli ancorati a un valore finito.<\/p>\n
D’altra parte, un approccio conservativo di questo tipo ha il suo senso: come pi\u00f9 di un millennio e mezzo dopo Galileo ha fatto notare nel suo Dialogo sopra i massimi sistemi<\/i>, i numeri quadrati come 1, 4, 9, 16, … sono solo una piccola parte dei numeri positivi; ma possiamo mettere i due insiemi in corrispondenza biunivoca e quindi sembrerebbe che siano in realt\u00e0 uguali. Come fare per evitare paradossi di questo tipo? Si vieta di usare l’infinito, tanto all’atto pratico non ci serve. Un modo un po’ riduttivo di operare, ma che comunque ha i suoi punti di forza.<\/p>\n
Il piccolo guaio \u00e8 che non bisogna mai dire a un matematico – o a un essere umano in generale, se per questo – che qualcosa \u00e8 vietato, perch\u00e9 ci si mette subito a giocare. Pochi decenni dopo Galileo, le serie infinite entrano prepotentemente in gioco, con i matematici dell’epoca (James Gregory e nientemeno che Leibniz stesso) che scoprono ad esempio che la somma infinita 1 – 1\/3 + 1\/5 – 1\/7 + 1\/9 – … \u00e8 pari a π\/4; e tirano fuori risultati cos\u00ec carini che non se ne pu\u00f2 proprio fare a meno. Eulero \u00e8 stato il vero campione, e maneggiava le serie infinite come un giocoliere, usando tutti i trucchetti formali di manipolazione algebrica. Poi magari gli venivano fuori risultati un po’ strampalati: partendo dalla divisione 1\/(1-x<\/i>) = 1 + x<\/i> + x<\/i>2<\/sup> + x<\/i>3<\/sup> + … e sostituendo a x<\/i> il valore 2 otteneva -1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … il che non suona cos\u00ec bene. <\/p>\n Eulero se la cavava dicendo “ma tanto io faccio questi conti per applicarli alla fisica: se il risultato non ha senso vuol dire che \u00e8 da buttare via”, e lo stesso facevano i primi analisti quando si arrampicavano sugli specchi spiegando perch\u00e9 nel calcolo delle derivate l’incremento non era zero – altrimenti si otteneva una divisione della forma 0\/0 che non aveva senso – per\u00f2 dopo aver semplificato l’espressione ed eliminato il rischio della divisione indeterminata si cambiava idea e si diceva che l’incremento in effetti valeva zero. Ma la matematica va avanti cos\u00ec: ogni tanto c’\u00e8 il momento in cui si parte per la tangente :-) senza preoccuparsi troppo della correttezza formale del tutto, ogni tanto ci si ferma e si rimette tutto bene a posto. Per l’analisi matematica si sono inventati tutti gli epsilon e i delta nelle definizioni; per le serie infinite si sono studiati i criteri di convergenza per eliminare i casi che non funzionano.<\/p>\n Insomma, tutto sembrava relativamente tranquillo: come ai tempi di Euclide (e Aristotele) l’infinito esiste, ma noi non lo tocchiamo e quindi facciamo finta che non ci sia. Poi arriv\u00f2 Georg Cantor e le cose non furono pi\u00f9 come prima: ma quella \u00e8 un’altra storia, e quindi ve la racconter\u00f2 la prossima volta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Il concetto di infinito in matematica \u00e8 sempre stato trattato con le molle, gi\u00e0 dai greci; non ci si sentiva a proprio agio con i paradossi relativi, e il grande traguardo degli analisti del XIX secolo fu di eliminarlo. 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