C’\u00e8 una cosa che manda i matematici in brodo di giuggiole, e che fa loro pensare di essere sulla strada giusta quando hanno definito un ente matematico: scoprire come l’ente che \u00e8 stato definito in un certo contesto appare “identico” – nel senso matematico: potrebbe essere l’equivalente di Stanislao Moulinski in uno dei suoi ineffabili travestimenti – in un contesto del tutto diverso. Quando capitano queste cose, l’unicit\u00e0 della matematica viene ancora pi\u00f9 rafforzata. Uno di questi casi \u00e8 indubbiamente quello dei numeri immaginari. <\/p>\n
Come forse ricorderete, i numeri immaginari apparvero in matematica per la prima volta quando nel Cinquecento vennero scoperte le formule per risolvere le equazioni di terzo e quarto grado. Queste formule, in alcuni casi, richiedevano di estrarre radici quadrate di numeri negativi. Gi\u00e0 questi ultimi numeri non \u00e8 che fossero visti cos\u00ec bene dai matematici dell’epoca: nessuno scriveva una formula come x<\/i>3<\/sup>−x<\/i>−6=0 (o meglio, seguendo lo stile dell’epoca: “qual \u00e8 la cosa per cui se al suo cubo togli la cosa stessa e altre sei unit\u00e0, non ti resta nulla?”), ma si spostavano i termini negativi sull’altro membro e si otteneva qualcosa tipo “qual \u00e8 la cosa che diventa il suo cubo se le aggiungi sei?”. Ma almeno in quel caso si potevano aggiustare le cose, appunto.<\/p>\n Sicuramente per\u00f2 non poteva esistere la radice quadrata di un numero negativo! Tutti sapevano che il quadrato di un numero positivo \u00e8 positivo, e il quadrato di un numero negativo \u00e8 comunque positivo. Il guaio \u00e8 che questi numeri uscivano fuori quando l’equazione aveva non una ma addirittura tre soluzioni (intere positive…) possibili, e quindi il problema c’era eccome. Essendo i matematici persone molto pratiche – lo so che non ci credete, ma \u00e8 cos\u00ec – essi decisero di far finta che quei numeri si comportassero come quelli usuali; tanto nel corso del procedimento di calcolo della soluzione essi facevano il favore di eliminarsi a vicenda per ottenere il risultato finale reale. In amore, in guerra e in matematica vale tutto… Insomma, i numeri immaginari erano considerati pi\u00f9 o meno come il parente scemo da non far vedere quando la gente ci viene a trovare ma che – non si sa bene come – forniva i numeri giusti da giocare al lotto.<\/p>\n Ma poi, come spiega bene Roberto Zanasi<\/a>, qualcuno si \u00e8 accorto che c’era un altro modo per definire un numero immaginario. Avete presente quando i guru della creativit\u00e0 invitano a “uscire dagli schemi”? Ecco. Usciamo dalla retta dei numeri, e guardiamo le cose da un altro punto di vista. Moltiplicare per −1 significa far fare una rotazione di 180 gradi, in un verso o nell’altro: diciamo in senso antiorario tanto per mettere i paletti. La radice quadrata di −1 dovrebbe essere qualcosa che applicata due volte d\u00e0 una rotazione di 180 gradi: il candidato ideale \u00e8 una rotazione di 90 gradi. Visto? Siamo usciti dagli schemi, anzi dalla retta, e siamo stati promossi sul piano! Il lettore particolarmente attento potr\u00e0 obiettare che anche una rotazione di 270 gradi fa il suo bel lavoro: e in effetti anche −i<\/i> moltiplicato per s\u00e9 stesso fa −1… Quella di ruotare in senso antiorario \u00e8 una semplice convenzione, proprio come quella per cui i numeri sulla retta vanno da sinistra a destra e non viceversa.<\/p>\n Ci sono voluti due secoli e mezzo per tirare fuori questa idea, grazie a Caspar Wessel, Jean-Robert Argand e soprattutto Gauss che l’ha definitivamente sdoganata<\/a>: anche allora l’endorsement di chi \u00e8 famoso aiuta molto per ottenere l’accettazione globale. Da allora comunque le cose andarono sempre meglio. Da un lato il poter “vedere” i numeri immaginari e quelli complessi (la somma di un numero reale e uno immaginario puro) ci fa immaginare :-)<\/tt> che in fin dei conti tanto immaginari poi non sono; d’altro canto, scoprire che i numeri che uscivano da un procedimento algebrico avevano una rappresentazione geometrica rafforzava la convinzione che le regole definite fossero sensate, perch\u00e9 i matematici sono sempre contenti quando riescono a trovare una riunificazione. Beh, detto cos\u00ec \u00e8 un po’ riduttivo, in effetti: tenete conto che Gauss su questa corrispondenza ci ha costruito tutta la teoria delle equazioni algebriche, e scusate se \u00e8 poco.<\/p>\n Ma questa corrispondenza tra numeri complessi e punti del piano, e tra operazioni tra i complessi e trasformazioni geometriche del piano, ha portato a un altro fruttuoso risultato. I matematici ragionano molto spesso per analogia, prima di nascondere tutto il lavoro sporco che hanno fatto e mostrare solo i loro risultati cos\u00ec carucci. Se dunque la retta corrisponde ai numeri reali e il piano ai numeri complessi, non \u00e8 che ci possano essere dei numeri che corrispondano allo spazio? Naturalmente questi numeri devono avere tre componenti distinte, proprio come i reali monodimensionali ne hanno una e i complessi bidimensionali ne hanno due – come detto sopra, i numeri complessi sono della forma a<\/i>+bi<\/i>. <\/p>\n Questo pensiero rimase nella mente del grande matematico irlandese William Rowan Hamilton per anni, ma non funzionava mai nulla: poteva sommare numeri con componenti a<\/i>, bi<\/i>, cj<\/i> in modo corrispondente a fare traslazioni nello spazio, ma non gli riusciva proprio a trovare un modo per estendere il prodotto, cio\u00e8 le rotazioni, dal piano allo spazio. La storia racconta poi che l’idea gli venne di colpo mentre stava passando sopra un ponte dublinese – il Broom Bridge – passeggiando con sua moglie (evidentemente senza ascoltare una singola parola di quello che lei gli stava dicendo: se siete maschi e sposati, siete sicuramente anche voi esperti nel campo); come un qualunque tagger, Hamilton si ferm\u00f2 e incise sulla pietra del ponte le formule di base dei quaternioni, cio\u00e8 i<\/i>2<\/sup> = j<\/i>2<\/sup> = k<\/i>2<\/sup> =ijk<\/i> = −1.<\/p>\n Quale fu il passaggio fondamentale che port\u00f2 Hamilton alla sua scoperta? Fuggire da un’analogia troppo stretta. Come abbiamo appena vista, per lavorare in tre dimensioni occorrono infatti quattro<\/b> componenti: 1, i<\/i>, j<\/i> e k<\/i>. Il bello \u00e8 che con il senno di poi questo passaggio \u00e8 ovvio, per una ragione molto pratica e legata proprio alla visione geometrica. Nel caso planare le rotazioni sono commutative, per l’ottima ragione che esiste un solo modo per farle. Avete presente le coordinate polari? Invece che dare le coordinate x<\/i> e y<\/i> a partire dall’origine O<\/i>, si danno la distanza r<\/i> dall’origine e l’angolo θ rispetto a una retta di partenza. Nello spazio non basta avere la distanza dall’origine e due angoli: ce ne vogliono tre (i cosiddetti angoli di Eulero<\/a>: non ci facciamo mancare nessun grande matematico dell’era moderna!) e soprattutto le rotazioni non sono pi\u00f9 commutative, come sa chi fa computer graphics e si trova una serie di formule per la rotazione che usa la cosiddetta notazione scalare-vettore (se ne parla su Wikipedia<\/a>, ma devo ammettere che mi sono perso in tutte quelle formule). Insomma \u00e8 normale dover avere quattro componenti e non solamente tre, cos\u00ec come \u00e8 normale che una componente, se proprio lo si vuole, possa essere espressa per mezzo delle altre (k<\/i> = ij<\/i>): in fin dei conti le dimensioni dello spazio sono tre e non quattro!<\/p>\n Ovviamente, peggio ancora dell’uovo di Colombo originale, un discorso come questo pu\u00f2 solo funzionare a posteriori. Tenete presente che nel 1843 non esisteva ancora il concetto di calcolo vettoriale, o se per questo neppure quello di vettore: Hamilton ha evidentemente dovuto crearsi tuta la matematica relativa senza avere nessun punto di partenza su cui basarsi per i suoi conti. Non per nulla \u00e8 stato uno dei matematici pi\u00f9 importanti del diciannovesimo secolo. Ma come dicevo all’inizio, dopo tutti questi sforzi si \u00e8 scoperto che due notazioni apparentemente scorrelate come quella geometrica scalare-vettore e quella puramente algebrica dei quaternioni sono in realt\u00e0 la stessa cosa: e ancora meglio, si pu\u00f2 generalizzare il tutto con la teoria delle matrici. Non vi sembra bellissimo? (Se rispondete “no”, non potrete mai diventare dei matematici nemmeno virtuali: questo \u00e8 lampante)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Una volta che si cambia punto di vista, si possono avere idee che portano a nuovi sviluppi… basta sapere accorgersi di cosa bisogna buttare via. 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