{"id":460,"date":"2013-02-06T11:02:00","date_gmt":"2013-02-06T10:02:00","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=460"},"modified":"2014-11-11T16:27:13","modified_gmt":"2014-11-11T15:27:13","slug":"mersenne-48","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/02\/06\/mersenne-48\/","title":{"rendered":"Mersenne 48"},"content":{"rendered":"

No, quello del titolo non \u00e8 il codice del taxi che sto aspettando: quello lo lasciamo a Geoffrey Hardy e al suo amico Ramanujan. La notizia \u00e8 un’altra: \u00e8 stata ufficialmente comunicata la scoperta di un nuovo numero primo di Mersenne, il quarantottesimo. Questo numero \u00e8 pari a 2 elevato alla 57.885.161 potenza meno 1 (in notazione matematica 257885161<\/sup>−1). Il numero in questione ha quasi 17 milioni e mezzo di cifre, e al momento \u00e8 il pi\u00f9 grande numero primo conosciuto: il primatista precedente non arrivava nemmeno (si fa per dire…) a 13 milioni. Non esattamente noccioline, insomma.<\/p>\n

Per capire meglio la storia dietro questa scoperta bisogna fare un salto indietro nel tempo di quasi 2300 anni e tornare al buon Euclide, che nei suoi Elementi<\/i> non ha solo parlato di geometria ma anche un po’ di aritmetica, definendo i numeri perfetti<\/b>, quelli per cui se si sommano tutti i divisori propri (tranne s\u00e9 stesso, insomma) si ottiene il numero di partenza. Per esempio, i divisori di 6 sono 1, 2, 3; e 1+2+3 fa 6. La stessa cosa capita con 28, che ha come divisori 1, 2, 4, 7 e 14. Euclide mostr\u00f2 come un numero della forma 2p<\/i>−1<\/sup>(2p<\/i><\/sup>−1) \u00e8 perfetto quando 2p<\/i><\/sup>−1 \u00e8 un numero primo. La dimostrazione di questa propriet\u00e0 \u00e8 facile e potete farla anche voi come compito a casa; non \u00e8 nemmeno difficile dimostrare che una condizione necessaria (ma non sufficiente!) perch\u00e9 2p<\/i><\/sup>−1 sia primo \u00e8 che p<\/i> sia a sua volta primo. Ci volle un paio di millenni prima che Eulero riuscisse a dimostrare che tutti i numeri perfetti pari sono di quel formato; e nessuno \u00e8 ancora riuscito a dimostrare che non esistono numeri perfetti dispari oppure a trovarne uno – ne parlavo due anni fa<\/a> su questi schermi.
\nCome scrivevo sopra, anche se p<\/i> \u00e8 primo non \u00e8 detto che lo sia anche 2p<\/i><\/sup>−1. Per esempio, spero concorderete che 11 sia un numero primo; ma 211<\/sup>−1=2047 \u00e8 il prodotto di 23 per 89. I Greci conoscevano solo quattro numeri perfetti: 6, 28, 496, 8128. Il quinto numero perfetto, 33.550.336, venne scoperto da un ignoto matematico intorno al 1460; il sesto e il settimo numero perfetto, rispettivamente 8.589.869.056 e 137.438.691.328, furono pubblicati per la prima volta da Pietro Cataldi nel 1588. Come vedete, questi numeri primi sono pochi e crescono molto rapidamente: insomma non \u00e8 che si possano trovare cos\u00ec facilmente. Beh, il pc dove sta scrivendo mi ha fattorizzato l’ultimo numero indicato in un centesimo di secondo scarso, ma questo non fa testo. In tutto questo, per\u00f2, magari c’\u00e8 qualcuno che sta chiedendosi che diavolo c’entri Mersenne. Non parlerei di diavolo, visto che Marin Mersenne era un monaco: matematico non esattamente di grido, il suo maggior contributo \u00e8 stato essere il primo hub della storia della matematica. Tutti i grandi matematici del diciassettesimo secolo inviavano le loro scoperte a Mersenne, e lui nella sua cella si impegnava a disseminarle a tutti, con una velocit\u00e0 molto inferiore a quella di Internet ma con gli stessi risultati pratici. Mersenne a un certo punto diede una lista di tutti i numeri primi inferiori a 256 che sostituiti nella formula qui sopra avrebbero generato un numero perfetto; fece qualche errore sia di omissione che di aggiunta indebita, ma le generazioni successive decisero comunque che meritava che quei numeri venissero battezzati in suo onore.
\nNessuno sa se i primi di Mersenne siano finiti o infiniti: sicuramente sono davvero pochissimi, visto che per esempio tra i 1.622.441 numeri primi inferiori o uguali a 25.964.951 solamente 42 sono primi di Mersenne. L’unico modo di trovarne qualcuno \u00e8 usare dei computer, e usarli molto pesantemente. Fortunatamente, si fa per dire, esiste un test di primalit\u00e0 per numeri di questa forma relativamente efficiente dal punto di vista computazionale: il test di Lucas-Lehmer, dal nome dei due matematici del XIX e XX secolo che l’hanno rispettivamente ideato e modificato. \u00c8 incredibile pensare che \u00c9douard Lucas (quello della torre di Hanoi… ma non \u00e8 un caso neppure questo) ide\u00f2 il test nel 1856, quando esisteva a malapena la macchina analitica di Babbage: per\u00f2 bisogna dire che Lucas, dopo Leibniz, \u00e8 stato il secondo matematico a pensare usualmente in base due. In realt\u00e0 non si pu\u00f2 nemmeno usare un singolo calcolatore, ci metterebbe troppo tempo. Negli ultimi anni i numeri di Mersenne vengono trovati da un progetto di computazione condivisa, il GIMPS<\/a> (Great Internet Mersenne Prime Search), che assegna pezzi di calcolo a vari volontari in giro per il mondo che fanno girare il programma relativo a priorit\u00e0 minima quando il computer non ha nulla di meglio da fare. Intendiamoci: non do alcun significato semantico a quel “meglio”. Erano passati quattro anni dalla scoperta del precedente primo di Mersenne, e solo un mese dal controllo ancora pi\u00f9 tedioso di tutti i numeri di Mersenne fino al quarantaduesimo primo, per essere certi che non ne fosse sfuggito qualcuno (\u00e8 gi\u00e0 capitato in passato: la ricerca non \u00e8 lineare ma chi arriva arriva). Ed \u00e8 anche abbastanza tedioso verificare che un numero primo di Mersenne lo sia effettivamente: come si pu\u00f2 leggere sulla pagina del GIMPS, sono stati fatti tre controlli indipendenti con software diverso, che hanno fatto trascorrere quasi due settimane prima di poter dare l’annuncio ufficiale.
\nSe qualcuno \u00e8 arrivato fin qui chiedendosi a che serve tutto questo, la risposta \u00e8 “a niente”, o al pi\u00f9 “a farmi scrivere questo post”. Ma in fin dei conti una ricerca di questo \u00e8 un passatempo come un altro, pi\u00f9 o meno come fare birdwatching e sicuramente meglio di andare a sparare a caso per le strade. Accontentiamoci.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00c8 stato scoperto un nuovo numero primo di Mersenne, o se preferite un nuovo numero perfetto. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[4,97,19],"class_list":["post-460","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-attualita","tag-numeri-primi-di-mersenne","tag-teoria-dei-numeri"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-7q","jetpack-related-posts":[{"id":723,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2016\/01\/22\/ancora-un-primo-di-mersenne-pillole\/","url_meta":{"origin":460,"position":0},"title":"Ancora un primo di Mersenne [Pillole]","author":".mau.","date":"22\/01\/2016","format":false,"excerpt":"Ma non \u00e8 detto che sia il quarantanovesimo!","rel":"","context":"In \"Mersenne\"","block_context":{"text":"Mersenne","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/mersenne\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":462,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/11\/11\/e-proprio-il-numero-44-pillole\/","url_meta":{"origin":460,"position":1},"title":"\u00c8 proprio il numero 44! 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