{"id":46,"date":"2010-05-19T14:30:07","date_gmt":"2010-05-19T12:30:07","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=46"},"modified":"2022-10-10T17:00:02","modified_gmt":"2022-10-10T15:00:02","slug":"il-paradosso-di-berry","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/05\/19\/il-paradosso-di-berry\/","title":{"rendered":"Il paradosso di Berry"},"content":{"rendered":"

Oggi, almeno per quanto riguarda la matematica, mi limito al minimo indispensabile: i numeri interi positivi. Lo sapete che tutti<\/b> i numeri interi sono interessanti? Tanto per iniziare, 1 \u00e8 interessante per tantissime ragioni, per esempio perch\u00e9 \u00e8 l’unico intero n<\/i> il cui inverso 1\/n<\/i> sia intero; 2 \u00e8 interessante perch\u00e9 tra l’altro \u00e8 l’unico numero primo pari; 1729 lo \u00e8 in quanto il pi\u00f9 piccolo intero esprimibile come somma di due cubi in due modi diversi, come Ramanujan fece notare a Hardy (le somme sono 103<\/sup>+93<\/sup> e 123<\/sup>+13<\/sup>), e cos\u00ec via. Se ci fossero dei numeri non interessanti, ci sarebbe anche il pi\u00f9 piccolo tra essi. Ma a questo punto non vorreste forse concedermi che un numero con la caratteristica di essere il minore tra i numeri non interessanti \u00e8 ipso facto<\/em> interessante? E dopo averlo spostato nella categoria “interessanti”, cosa facciamo del nuovo<\/em> numero minore tra i non interessanti?<\/p>\n

In effetti, la definizione di “numero interessante” \u00e8 un po’ nebulosa, visto che non esiste un modo univoco per definire interessante una propriet\u00e0; quindi questo esempio \u00e8 solo uno scherzo. Ma le cose non sono cos\u00ec semplici. Iniziamo ad associare a ciascun numero tutte le sue descrizioni<\/i>, vale a dire le espressioni – aritmetiche e no – che danno come risultato quel numero. Per esempio, 4 lo possiamo descrivere come “quattro”, ma anche come “due pi\u00f9 due”, “radice quadrata di sedici”, “il secondo numero pari”, “il numero di semi in un mazzo di carte francesi”, “il doppio dell’unico numero x<\/i> diverso da zero per cui x<\/i>+x<\/i> = x<\/i>·x<\/i>“, e chi pi\u00f9 ne ha pi\u00f9 ne metta. <\/p>\n

Supponiamo ora di essere amanti del risparmio, e voler perdere il minor tempo possibile per pronunciare i vari numeri. Visto che approssimativamente ogni sillaba si pronuncia nello stesso tempo, per ogni numero dovremmo scegliere quella con il minor numero di sillabe. Nel caso di 4 direi che “quattro” \u00e8 imbattibile, per\u00f2 gi\u00e0 nel caso di 999.999 piuttosto che dire “novecentonovantanovemilanovecentonovantanove” (venti sillabe) \u00e8 molto meglio usare la forma “un milione meno uno” (otto sillabe). <\/p>\n

In effetti c’\u00e8 un numero finito di sillabe diverse nella lingua italiana, direi qualche centinaio o al pi\u00f9 qualche migliaio. La maggior parte delle “frasi” composte assemblando sillabe a caso non hanno poi senso in italiano; molte delle frasi sensate, come tanto per fare un esempio “il giro del mondo”, non corrispondono a nessun numero. Quindi a maggior ragione per un qualunque numero di sillabe prefissato si possono descrivere solo un numero finito di numeri interi; questo a sua volta significa che esiste il pi\u00f9 piccolo intero che non pu\u00f2 essere descritto in italiano con meno di quaranta sillabe. Sar\u00e0 un numero enorme, non avrei nemmeno idea di quanto grande esso possa essere; ma \u00e8 un numero finito, e con sufficiente pazienza e un universo abbastanza grande lo possiamo calcolare in linea di principio. Ma…<\/p>\n

Ma c’\u00e8 un piccolo problema. “Il pi\u00f9 piccolo intero che non pu\u00f2 essere descritto in italiano con meno di quaranta sillabe”<\/i> \u00e8 indubbiamente la descrizione di un intero. Contate il numero di sillabe della frase: sono trentuno. Ma allora abbiamo trovato una descrizione di quell’intero con meno di quaranta sillabe, e dunque non pu\u00f2 essere il pi\u00f9 piccolo intero che non pu\u00f2 essere descritto con meno di quaranta sillabe. C’\u00e8 qualcosa che non torna: scosso scosso, sento odor di paradosso!<\/p>\n

Il primo ad avere evidenziato questo paradosso \u00e8 stato nel 1904 un certo G.G. Berry, della Biblioteca Bodleiana di Oxford; non l’ultimo arrivato, insomma. Berry scrisse subito al miglior esperto di paradossi del tempo: Bertrand Russell, quello che aveva tirato fuori l’esempio del barbiere che tagliava la barba a tutti e soli quelli che non se la tagliavano da s\u00e9. Russell apprezz\u00f2 davvero il paradosso, tanto che nei suoi Principia Mathematica<\/i> Berry fu una delle due uniche persone citate. Fortunatamente, non fu cos\u00ec berrybile riuscire ad addomesticare il paradosso; il trucco \u00e8 eliminare la possibilit\u00e0 di operare a livelli semantici diversi. Detto in parole povere, nelle descrizioni non si pu\u00f2 parlare delle descrizioni stesse. Russell pensava di essere riuscito a mettere tutto a posto con questa gerarchia di descrizioni, salvo venire clamorosamente smentito due decenni dopo; ma questa \u00e8 un’altra storia.<\/p>\n

(Nel capitolo 8 di Anelli nell’io<\/i> di Douglas Hofstadter trovate un resoconto un po’ pi\u00f9 ampio del paradosso di Berry; gli anglofili possono anche leggere questo articolo<\/a> di Gregory Chaitin)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Qual \u00e8 il pi\u00f9 piccolo intero che non pu\u00f2 essere descritto in italiano con meno di quaranta sillabe? Definirlo non \u00e8 cos\u00ec facile come sembra.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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