{"id":449,"date":"2011-12-20T05:30:19","date_gmt":"2011-12-20T04:30:19","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=449"},"modified":"2022-10-11T10:26:42","modified_gmt":"2022-10-11T08:26:42","slug":"il-primo-teorema-di-incompletezza-di-godel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/20\/il-primo-teorema-di-incompletezza-di-godel\/","title":{"rendered":"Il primo teorema di incompletezza di G\u00f6del"},"content":{"rendered":"

Come promesso<\/a>, eccovi la ricetta per uno schema di dimostrazione del primo teorema di incompletezza di G\u00f6del. Ho saltato alcuni punti tecnici per i quali dovete fidarvi della parola del grande logico, se proprio non della mia; e ho cercato di spiegare il meglio possibile il significato dei singoli passi, perch\u00e9 altrimenti uno si chiede davvero la necessit\u00e0 di fare tutta quella costruzione. Vi avviso subito: non ci sono concetti molto esoterici, per\u00f2 bisogna avere un minimo di dimestichezza con la logica matematica per seguire la dimostrazione. Prendetevela comoda: se vi consola, ci ho messo delle settimane per riuscire a capirla in modo sufficiente da saperla riscrivere.<\/p>\n

0.<\/strong> Partiamo dalla definizione di un linguaggio formale che possa codificare l’aritmetica: G\u00f6del nel suo articolo ha preso i Principia Mathematica<\/em>, ma possiamo usare per esempio l’Aritmetica di Peano<\/a> detta anche “zero e i suoi successori”. Partendo dal nostro linguaggio PM, consideriamo i simboli (l’alfabeto<\/b>) di questo linguaggio: lo stock standard \u00e8 mostrato qui sotto. Se non vi ricordate il significato dei simboli, tornate al mio post precedente<\/a>.<\/p>\n

Lista della spesa per l’Aritmetica di Peano:
\n– una costante, 0
\n– una variabile x<\/i>
\n– un simbolo ‘ (primo) per costruire tutte le variabili che vogliamo x<\/i>‘, x<\/i>”, x<\/i>”’… (poi nel seguito barer\u00f2 e user\u00f2 anche y<\/i> e z<\/i>, ma il principio resta lo stesso)
\n– una funzione unaria s, dove sx<\/i> \u00e8 “il successore di x”
\n– il quantificatore universale ∀ e il quantificatore esistenziale ∃
\n– parentesi sinistra e destra ( e ) per dare un ordine alle operazioni da compiere
\n– i simboli logici ∧, ∨, ¬
\n– le funzioni binarie + e ×
\n– le relazioni di uguaglianza = e di ordine < (minore)<\/p><\/blockquote>\n

ma per fare le cose semplici adesso uso solo 0, +, =, (, ), s. A ciascuno dei simboli associamo poi un numero positivo: nel nostro caso potremmo per esempio dar loro i numeri da 1 a 6 nell’ordine.<\/p>\n

1.<\/strong> Prendiamo ora una successione (una stringa<\/b>) di simboli dell’alfabeto. Essendo una successione essa \u00e8 automaticamente ordinata, quindi possiamo associare all’n<\/i>-simo simbolo da sinistra l’n<\/i>-simo numero primo, elevato alla potenza corrispondente al simbolo stesso. Insomma, a 0=0 corrisponde 21<\/sup>·33<\/sup>·51<\/sup> = 270, a 0=s0 corrisponde 21<\/sup>·33<\/sup>·56<\/sup>·71<\/sup> = 5906250 e a 0=( corrisponde 21<\/sup>·33<\/sup>·54<\/sup> = 33750. Il bello \u00e8 che visto che ogni numero si pu\u00f2 fattorizzare in un solo modo c’\u00e8 una corrispondenza biunivoca tra numeri positivi (a partire da 0 che \u00e8 la stringa nulla) e stringhe. Questi numeri si chiamano numeri di G\u00f6del<\/b>. Scriver\u00f2 G(F) per indicare il numero di G\u00f6del di una formula F.<\/p>\n

1 bis.<\/strong> Spero vi siate accorti che la corrispondenza che abbiamo definito \u00e8 al momento solo un giochino tipografico: come sa chi per esempio ha avuto a che fare con l’XML, possiamo infatti avere stringhe che non hanno alcun senso come nel caso del mio terzo mio esempio. Anche tra le stringhe sensate (le fbf<\/b>, formule ben formate: in inglese trovate wff che sta per well-formed formulas) abbiamo due categorie: quelle false come la seconda visto che 0 non \u00e8 uguale a 1, e quelle vere come la prima. <\/p>\n

2.<\/strong> \u00c8 interessante notare che c’\u00e8 un sistema assolutamente automatico per trovare tutte<\/i> le fbf (tecnicamente si dice che sono una “classe ricorsivamente definita<\/b>“); quindi l’insieme dei numeri di G\u00f6del corrispondenti alle fbf non ha concettualmente nulla di diverso da altri insiemi come i quadrati perfetti, i numeri primi o quelli di Fibonacci. Uno potrebbe studiare le propriet\u00e0 di questi numeri, e naturalmente descriverle nel linguaggio dei Principia Mathematica<\/em>. Vi siete accorti di cosa \u00e8 successo? Siamo partiti da PM, abbiamo tradotto le sue stringhe in numeri di G\u00f6del, e adesso rimettiamo questi numeri dentro PM! Non abbiamo ancora l’autoreferenzialit\u00e0, per\u00f2: siamo solo passati a un livello superiore. Per il momento non c’\u00e8 ancora nulla di strano, o se preferite siamo ancora al paradosso anti-Frege: ricordate che i PM sono nati apposta per lavorare su una scala di livelli.<\/p>\n

3.<\/strong> Ma \u00e8 molto<\/i> pi\u00f9 interessante scoprire che anche la classe delle formule dimostrabili<\/b> \u00e8 ricorsivamente definita. Le formule dimostrabili non sono nient’altro che i teoremi: se un teorema \u00e8 dimostrabile, esiste una serie di passaggi formali – ricordate che i Principia Mathematica<\/i> sono proprio nati per mostrare come tutta l’aritmetica pu\u00f2 essere dimostrata automaticamente – che a partire dagli assiomi porta alla stringa corrispondente al teorema. Questo a sua volta significa che c’\u00e8 un algoritmo computazionale<\/i> che lavora sui numeri di G\u00f6del corrispondenti!, e che possiamo parlare dell’insieme dei numeri di G\u00f6del “teorematici”, che cio\u00e8 corrispondono ai teoremi. 270 \u00e8 un numero teorematico, visto che si pu\u00f2 dimostrare che 0=0 (non lo credevate, vero?); mischiando al solito i livelli, possiamo enunciare in PM le affermazioni “270 \u00e8 un numero teorematico” e “270 NON \u00e8 un numero teorematico”. La prima \u00e8 vera, la seconda falsa; quello che conta \u00e8 che sono entrambe fbf. Naturalmente anche la dimostrazione<\/i> stessa \u00e8 esprimibile come una serie finita di passaggi logici e quindi ha un suo numero di G\u00f6del.<\/p>\n

3 bis.<\/strong> Vi siete accorti che non ho dimostrato che le formule dimostrabili, o se per questo le fbf, sono ricorsivamente definite? Ecco, questo \u00e8 un punto su cui dovete fidarvi oppure leggere l’articolo originale di G\u00f6del, o almeno la sua traduzione in inglese<\/a>. Per\u00f2 vi garantisco che \u00e8 una caratteristica molto importante.<\/p>\n

4.<\/strong> Digressione: come si fa a scoprire che un numero \u00e8 teorematico? La cosa non \u00e8 cos\u00ec banale come sembra a prima vista. Con i numeri fbf la cosa, almeno in linea di principio, \u00e8 semplice. Le formule che si generano man mano sono sempre pi\u00f9 lunghe, e quindi corrispondono a numeri di G\u00f6del sempre pi\u00f9 grandi. Beh, non \u00e8 proprio cos\u00ec, visto che gli esponenti dei singoli fattori potrebbero essere minori dopo la generazione della nuova formula; ma per ogni k<\/i> c’\u00e8 comunque un limite superiore finito per il numero corrispondente a una formula con k<\/i> termini, e quando superiamo quel limite senza trovare nulla siamo certi che il numero non corrisponde a una fbf. Per i numeri teorematici non \u00e8 cos\u00ec: pu\u00f2 capitare che mentre generiamo le stringhe di una dimostrazione ne otteniamo una pi\u00f9 corta della precedente, proprio come quando facevamo gli esercizi sulle espressioni e semplificavamo tutto.<\/p>\n

4 bis.<\/strong> Ma \u00e8 importante sapere se un numero \u00e8 teorematico? Beh, lo sarebbe s\u00ec. Immaginiamo di avere un guru, o un G\u00f6ru come lo chiama Hofstadter, che sappia dirci se un numero \u00e8 teorematico o no. Bene: in questo caso sapremmo risolvere tutti<\/i> i teoremi della teoria dei numeri. Dato un teorema T, Basta calcolare il numero di G\u00f6del G(T) corrispondente al teorema, darlo a G\u00f6ru e chiedergli se \u00e8 teorematico. Se la risposta \u00e8 s\u00ec, allora il teorema \u00e8 vero; altrimenti \u00e8 falso. Beh, questo naturalmente se \u00e8 vero il Credo del Matematico!<\/p>\n

4 ter.<\/strong> Se a qualcuno leggendo fin qua \u00e8 venuto in mente l’Entscheidungsproblem, ha intuito tante cose :-) Ma il centenario della nascita di Alan Turing \u00e8 l’anno prosssimo, quindi dovete aspettare ancora un po’ perch\u00e9 vi parli anche di questo. Se non gli \u00e8 venuto in mente, nema problema: qui stiamo dimostrando dell’altro.<\/p>\n

5.<\/strong> Ora inizia la parte davvero complicata, perch\u00e9 iniziamo ad avvitarci (deliberatamente!) su noi stessi. Quello che vorremmo fare \u00e8 avere una formula che, letta come numero di G\u00f6del e decodificata, parli ancora di s\u00e9 stessa: peccato che, come dovreste avere intuito, la g\u00f6delizzazione costruisce numeri molto, molto maggiori di quelli di partenza e quindi non si capisce come si possa far star dentro la formula originaria dopo la decodifica. Il trucco \u00e8 di usarlo allora come valore<\/b> dato alla formula stessa!
\nIl nostro linguaggio permette infatti di scrivere formule con variabili libere<\/b>, come x<\/i>=ss0 (notate la differenza con ∃x<\/i>:x<\/i>=ss0. In questo secondo caso la x<\/i> si dice quantificata<\/b>. Attenzione: x<\/i>=ss0 non deve necessariamente essere vera o falsa! Non \u00e8 neppure un’equazione, se per questo. Per ottenere una formula vera o falsa occorre dare un valore per x<\/i>. Possiamo assegnargli il valore 0 e ottenere una formula falsa, oppure assegnargli 2 e ottenere una formula vera. <\/p>\n

6.<\/strong> Naturalmente anche queste espressioni con variabili libere hanno un numero di G\u00f6del. Dato un qualunque numero n<\/i> e una formula F(x<\/i>), possiamo allora definire la relazione NONDIMOSTRO(n<\/i>,G(F)) che afferma “n<\/i> non \u00e8 il numero di G\u00f6del di una dimostrazione di F(G(F))”, cio\u00e8 di F applicata al proprio numero di G\u00f6del. Insomma, si prende il numero G(F), lo si decodifica per ottenere F che come dicevo ha una variabile libera x<\/i>, si mette G(F) al posto di x<\/i> e si ricodifica. Otteniamo numeri pantagruelici, ma il bello della matematica \u00e8 che non ci dobbiamo preoccupare di queste quisquilie. NONDIMOSTRO \u00e8 una relazione tra i due numeri n<\/i> e G(F); se n<\/i> non \u00e8 la codifica di una dimostrazione – vale a dire l’elenco (finito) di formule che la compongono – di F(G(F)) allora NONDIMOSTRO(n<\/i>,G(F)) \u00e8 vero, mentre se quell’elenco \u00e8 una dimostrazione di F(G(F)) allora ¬ NONDIMOSTRO(n<\/i>,G(F)), cio\u00e8 la sua negazione, \u00e8 vero. Visto che l’elenco \u00e8 finito e che sappiamo che le formule dimostrabili sono ricorsivamente definite, siamo sicuri che in un tempo finito si riesce a ottenere una delle due possibilit\u00e0, e pertanto una delle due possibilit\u00e0 \u00e8 dimostrabile.<\/p>\n

7.<\/strong> Su, che ci siamo quasi. Abbiamo visto che NONDIMOSTRO(y<\/i>,z<\/i>) significa che y<\/i> non \u00e8 il numero di G\u00f6del di una dimostrazione di z<\/i>, dove z<\/i> \u00e8 una formula con una variabile libera che viene quantificata dando come valore alla variabile il numero di G\u00f6del della formula stessa. Naturalmente dato uno z<\/i> ci saranno alcuni y<\/i> per cui NONDIMOSTRO(y<\/i>,z<\/i>) \u00e8 vero (y<\/i> non \u00e8 una delle possibili dimostrazioni di z<\/i>) e forse altri per cui \u00e8 falso (se z<\/i> \u00e8 vero e dimostrabile allora c’\u00e8 almeno una sua dimostrazione e quindi un numero di G\u00f6del). Definiamo ora una nuova formula P(z<\/i>) data da ∀y<\/i> NONDIMOSTRO(y<\/i>,z<\/i>): quindi se mettiamo al posto di z<\/i> un numero di G\u00f6del G(F) , otteniamo P(G(F)) = ∀y<\/i> NONDIMOSTRO(y<\/i>,G(F)), o detto in modo pi\u00f9 terra terra “la formula F(G(F)) non ammette alcuna dimostrazione”, come abbiamo visto sopra.<\/p>\n

8.<\/strong> E se invece che una F qualunque prendiamo proprio P, facendo un triplo avvitamento autoreferenziale? La formula P(G(P)) equivale a ∀y<\/i> NONDIMOSTRO(y<\/i>,G(P)), cio\u00e8 “la formula P(G(P)) non ammette alcuna dimostrazione”, cio\u00e8 “io non sono dimostrabile”. Siamo finalmente arrivati alla soluzione! Infatti la nostra ipotesi iniziale, il Credo del Matematico, ci dice che una e una sola delle formule P(G(P)) e ¬ P(G(P)) \u00e8 dimostrabile.
\nSe P(G(P)) fosse dimostrabile, prendiamo una sua dimostrazione e il suo numero di G\u00f6del n<\/i>. Per definizione di NONDIMOSTRO, otteniamo che ¬ NONDIMOSTRO(n<\/i>,G(P)) \u00e8 dimostrabile, e pertanto che ¬ P(G(P)) \u00e8 dimostrabile. Aiuto! Contraddizione! Niente da fare, insomma.
\nSe invece fosse ¬ P(G(P)) ad essere dimostrabile, avremmo per definizione e per le relazioni tra i quantificatori che la formula ∃ y<\/i>: ¬ NONDIMOSTRO(y<\/i>,G(P)) \u00e8 dimostrabile. Prendiamo un y<\/i> qualunque e supponiamo che ¬ NONDIMOSTRO(y<\/i>,G(P)) sia dimostrabile. Ma allora per definizione y<\/i> \u00e8 il numero di G\u00f6del di una dimostrazione di P(G(P))… dimostrazione che non pu\u00f2 esistere, per quanto visto appena sopra. Ma y<\/i> era qualunque, pertanto per ogni y<\/i> la nostra ¬ NONDIMOSTRO(y<\/i>,G(P)) non \u00e8 dimostrabile. Dunque ∃ y<\/i>: ¬ NONDIMOSTRO(y<\/i>,G(P)) \u00e8 falsa, e pertanto ¬ P(G(P)) non \u00e8 dimostrabile. <\/p>\n

Abbiamo finito, non ve ne siete accorti ? :-) Se siete riusciti ad arrivare sin qui senza perdervi, vi faccio i miei pi\u00f9 sinceri complimenti (e li faccio anche a me… garantisco che \u00e8 stato un bagno di sangue preparare questa dimostrazione). Altrimenti provate a raccontare i vostri dubbi, e vediamo se riesco a diradarli almeno un po’.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La dimostrazione del teorema di incompletezza di G\u00f6del non \u00e8 complicatissima, ma \u00e8 cos\u00ec autoreferenziale che a volte sembra di vedere Ritorno al futuro II<\/i>. Ho provato a sminuzzarla e descriverla.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[44,24,29],"class_list":["post-449","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-logica","tag-paradossi","tag-storia-della-matematica"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-7f","jetpack-related-posts":[{"id":447,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/12\/12\/arriva-godel\/","url_meta":{"origin":449,"position":0},"title":"Arriva G\u00f6del!","author":".mau.","date":"12\/12\/2011","format":false,"excerpt":"Cosa dice esattamente il teorema di G\u00f6del? E perch\u00e9 \u00e8 cos\u00ec importante?","rel":"","context":"In \"logica\"","block_context":{"text":"logica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/logica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2648,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/10\/26\/godel-dio-e-repubblica\/","url_meta":{"origin":449,"position":1},"title":"G\u00f6del, Dio e Repubblica","author":".mau.","date":"26\/10\/2013","format":false,"excerpt":"Stamattina mia moglie mi aveva detto di aver letto qualcosa oggi su Repubblica a riguardo di due ricercatori che avevano \"dimostrato il teorema di G\u00f6del\". Ammetto di non averci fatto troppo caso, non ero nemmeno troppo sveglio. Poi mi \u00e8 capitato di vedere su Facebook la condivisione di questo articolo\u2026","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":445,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/13\/prima-di-godel\/","url_meta":{"origin":449,"position":2},"title":"Prima di G\u00f6del…","author":".mau.","date":"13\/09\/2011","format":false,"excerpt":"I teoremi di incompletezza di G\u00f6del hanno segnato la fine della sicurezza che i matematici hanno avuto per 2500 anni. Cosa \u00e8 successo prima che arrivasse lui?","rel":"","context":"In \"logica\"","block_context":{"text":"logica","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/logica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":398,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/27\/il-teorema-di-pitagora\/","url_meta":{"origin":449,"position":3},"title":"Il teorema di Pitagora","author":".mau.","date":"27\/07\/2010","format":false,"excerpt":"Il teorema pi\u00f9 famoso della geometria merita indubbiamente una trattazione a s\u00e9.","rel":"","context":"In \"geometria\"","block_context":{"text":"geometria","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/geometria\/"},"img":{"alt_text":"[la costruzione euclidea del teorema di Pitagora]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/09\/pitagora-euclide.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":444,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/10\/31\/aritmetica-di-robinson\/","url_meta":{"origin":449,"position":4},"title":"Aritmetica di Robinson","author":".mau.","date":"31\/10\/2014","format":false,"excerpt":"I teoremi di G\u00f6del vi sembrano troppo complicati? Eccovi un modo molto semplice per trovare una proposizione indecidibile secondo certe regole aritmetiche.","rel":"","context":"In \"assiomi\"","block_context":{"text":"assiomi","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/tag\/assiomi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2476,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2012\/02\/08\/la-magia-delle-soluzioni\/","url_meta":{"origin":449,"position":5},"title":"La magia delle soluzioni","author":".mau.","date":"08\/02\/2012","format":false,"excerpt":"Spesso la soluzione di un problema matematico sembra uscire come per magia da un cappello. Ma in fin dei conti il bello della matematica \u00e8 che un problema pu\u00f2 magicamente essere visto da un altro punto di vista!","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/449","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=449"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/449\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":450,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/449\/revisions\/450"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=449"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=449"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=449"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}