Quest’anno ricorre l’ottantesimo anniversario della pubblicazione dell’articolo di Kurt G\u00f6del \u00dcber formal unentscheidbare S\u00e4tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I<\/i> (“Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e altri sistemi, I”), probabilmente il singolo articolo pi\u00f9 importante in tutta la storia della matematica. (Gli Elementi<\/i> sono un libro, mica un articolo…) Sicuramente G\u00f6del riusc\u00ec a infrangere le credenze intime che i matematici avevano avuto per due millenni e mezzo, e in certo senso il suo teorema di incompletezza, insieme alla risoluzione negativa dell’Entscheidungproblem (“Il problema della terminazione”. Nella prima met\u00e0 del ‘900 il tedesco era la lingua madre in matematica, nel caso ve lo foste chiesti) che sarebbe seguita di l\u00ec a pochi anni grazie a Church e Turing sono alla base del cosiddetto “pensiero debole” che permea la filosofia del Novecento.
\nNon vi dimostrer\u00f2 certo il teorema di incompletezza: non sono cos\u00ec bravo da riuscire a scomporre la dimostrazione in passi sufficientemente semplici da essere digeribili senza venire soffocati. In un post futuro cercher\u00f2 per\u00f2 di dare un’idea del significato profondo del teorema e una traccia ad altissimo livello su quale sia la linea di attacco per la dimostrazione; stavolta mi dedico invece a raccontare come si \u00e8 arrivati al teorema, o meglio dove si era arrivati prima che esso apparisse come un fulmine a ciel sereno.<\/p>\n
Come spesso accade, tutto inizia con i greci antichi e il loro pensiero logico-filosofico. Il concetto di dimostrazione<\/i>, definito forse da Talete, \u00e8 un salto quantico rispetto alla matematica precedente: non solo quella egiziana e babilonese, ma anche quella creata anche nei millenni successivi in altre parti del mondo. Pensate per esempio a Ramanujan, che “vedeva” i risultati ma non sapeva affatto dimostrarli. Tanto per dire, gli egizi sapevano calcolare il volume di un tronco di piramide – occhei, per loro era di importanza vitale… – gi\u00e0 nel 2000 a.C., mentre i babilonesi sapevano risolvere le equazioni di secondo grado. Per\u00f2 entrambi si limitavano a dire “devi fare cos\u00ec e cos\u00e0 e avrai il risultato”, senza spiegare il perch\u00e9; un po’ come la gran maggioranza degli studenti oggid\u00ec. <\/p>\n
Ma torniamo a Talete e ai greci in genere. Fare una dimostrazione richiede due cose: avere un certo numero di punti di partenza (definizioni, assiomi e postulati) assunti come veri perch\u00e9 evidenti, e avere un procedimento specifico per generare nuovi enunciati veri partendo da altri enunciati veri. Notate che non c’\u00e8 una ricorsione, o una discesa infinita: postulati e assiomi, come ho scritto, sono veri a priori e quindi non sono da dimostrare. Come tutti sapete, il coronamento del concetto di dimostrazione arriv\u00f2 in periodo ellenistico con Euclide e i suoi Elementi<\/i>. Il testo non parla solo di geometria ma anche di aritmetica, sempre usando il metodo assiomatico e le dimostrazioni: ma \u00e8 stata indubbiamente la geometria che ha svolto il ruolo pi\u00f9 importante nei duemila anni successivi. Geometria che \u00e8 s\u00ec legata a misurazioni reali e quindi imprecise, ma \u00e8 in grado di astrarsi parlando di punti senza dimensioni, di rette che sono lunghezza senza larghezza e cos\u00ec via. Dimostrazioni che sono un esempio di chiarezza ma soprattutto una garanzia di ufficialit\u00e0: come abbiamo scoperto nel secolo scorso dopo aver fortunosamente ritrovato parte del Metodo<\/i>, Archimede aveva sviluppato un primitivo calcolo integrale, lo usava per avere un’idea di quali fossero le misure di alcune aree e volumi, e poi si metteva con santa pazienza a fare una dimostrazione geometrica del risultato, nascondendo accuratamente tutto il resto. Ancora alla fine del XVII secolo Newton nei Principia Mathematica<\/i> fa lo stesso, usando prima il calcolo infinitesimale e poi dando la “conferma” della validit\u00e0dei risultati per via geometrica.<\/p>\n
La giustificazione dell’analisi per mezzo della geometria non era casuale. Euclide era da tutti considerato il modello da seguire, e si dice che gli Elementi<\/i> siano il libro che ha avuto pi\u00f9 edizioni dopo la Bibbia. Il mondo perfetto \u00e8 insomma geometrico, come anche Kant ammette implicitamente facendo lo spazio uno dei suoi a priori<\/i>; quello che \u00e8 dimostrabile \u00e8 indubbiamente vero e quello il cui contrario \u00e8 dimostrabile \u00e8 indubbiamente falso. Fino a tutto il XVIII secolo, \u00e8 vero che c’erano dei problemi per cui non si era ancora trovata la dimostrazione con riga e compasso, come la quadratura del cerchio, la trisezione dell’angolo e la duplicazione del cubo: ma era solo una questione di tempo, e comunque c’erano dimostrazioni geometriche che richiedevano di usare qualcosa di pi\u00f9 degli strumenti classici, magari una riga graduata o un compasso che riporti le distanze, ma erano pur sempre dimostrazioni. Anche l’aritmetica in fin dei conti \u00e8 riconducibile alla geometria, come ci dimostra sempre Euclide; insomma, affidiamoci fiduciosi alla geometria e troveremo cos\u00ec prima o poi tutto il vero.<\/p>\n
S\u00ec, ci sarebbe quella noia del Quinto Postulato, ma \u00e8 giusto una cosa formale, da dimostrare prima o poi per togliere a Euclide la macchia di avere usato qualcosa in pi\u00f9 dello stretto necessario nella sua costruzione: questo non inficia certo la verit\u00e0 delle dimostrazioni geometriche, no? Ecco. Pensate lo choc che ebbero i matematici nello scoprire non solo che esistono geometrie non euclidee, ma addirittura che se la geometria euclidea \u00e8 vera lo debbono essere anche le altre due: Le tre verit\u00e0<\/i>, cantava Lucio Battisti in tutt’altro contesto. La geometria euclidea insomma non \u00e8 pi\u00f9 intrinsecamente vera, e il nostro proposito di usarla come fondamento di tutta la matematica va a farsi benedire. Fortunatamente l’analisi matematica con il lavoro di Augustin Louis Cauchy era riuscita ad affrancarsi sia dalla dipendenza geometrica, con la quale ad ogni modo non si riusciva ad andare avanti pi\u00f9 di tanto a dimostrare nuovi teoremi, che dal peccato originale degli infinitesimi. Si poteva insomma pensare di passare dalla geometrizzazione dell’aritmetica all’aritmetizzazione della geometria per mezzo della geometria analitica, e usare l’aritmetica come fondamento, per la gioia di Kronecker… ma lui arriva dopo, e non c’entra direttamente con questa storia.<\/p>\n
Naturalmente tra il dire e il fare c’era ancora di mezzo un bel mare: erano due millenni e mezzo che non si riusciva a raccapezzarsi troppo con i numeri irrazionali, il che poi era la ragione di base per cui si era lasciata perdere l’aritmetica e ci si era lanciati sulla geometria. Ma l’Ottocento \u00e8 stato un secolo di formalizzazioni estreme; Richard Dedekind riusc\u00ec a dare una definizione di numero reale usando solo insiemi di numeri razionali (i cosiddetti Tagli di Dedekind), e almeno quel problema era cos\u00ec risolto, o perlomeno spostato ai numeri naturali che sono sicuramente pi\u00f9 maneggiabili. Giuseppe Peano diede una assiomatizzazione dei numeri naturali (gli Assiomi di Peano); ma la fregatura era comunque che i numeri naturali sono infiniti, e pertanto il principio di induzione<\/a> (il quinto e ultimo degli assiomi, continua a tornare questo numero cinque!) \u00e8 in un certo senso un insieme infinito di assiomi, a meno che non ci si permetta il lusso di usare i sottoinsiemi qualunque di numeri. <\/p>\n Il passo successivo fu condotto da Gottlob Frege, che defin\u00ec i numeri naturali a partire dagli insiemi; 0 corrisponde all’insieme vuoto {}, 1 all’insieme che ha come elemento l’insieme vuoto cio\u00e8 lo 0 { {} }, 2 all’insieme che ha come elementi 0 e 1, e cos\u00ec via. Frege era ovviamente molto contento della sua assiomatizzazione terminale, anche perch\u00e9 dal nulla – pardon dall’insieme vuoto – scaturiva tutta la matematica; e scrisse cos\u00ec una bella opera in due volumi, I Princ\u00ecpi dell’Aritmetica, in cui raccontava tutto. Peccato che tra la pubblicazione del primo e quella del secondo volume l’allora giovane Bertrand Russell gli scrisse una letterina in cui gli raccontava il paradosso del barbiere di un villaggio dove nessuno porta la barba; quel barbiere rade la barba a tutti e soli i suoi compaesani che non se la radono da s\u00e9, chiedendogli se il barbiere si radeva oppure no. Beh, no, l’esempio che Russell fece inizialmente era pi\u00f9 complicato, ma il principio era lo stesso. Ricordate che un’assiomatizzazione deve partire da concetti intuitivi, visto che non si possono dimostrare e li si prende come assiomi? Passare dai naturali agli insiemi serviva proprio perch\u00e9 quello di numero non \u00e8 poi un concetto cos\u00ec intuitivo, mentre l’insieme… beh, metti un po’ di cose insieme e hai un insieme. Peccato, mostr\u00f2 Russell, che con questa definizione naif puoi avere un insieme che contiene anche s\u00e9 stesso tra i suoi elementi, e questo ti porta subito a un paradosso. Benvenuti nel XX secolo (siamo nel 1902), il secolo del dubbio.<\/p>\n