Ci sono argomenti che non possono non essere trattati da chi si occupa di divulgazione matematica. Non ho mai capito se \u00e8 semplicemente a causa di un “effetto pecora” o perch\u00e9 la gente li trova effettivamente interessanti; il guaio \u00e8 cercare di trovare un modo almeno un po’ diverso dal solito di trattarli. Stavolta mi occupo di geometrie non euclidee: vediamo se ce la faccio a non annoiare chi sa gi\u00e0 tutto a riguardo.<\/p>\n
La geometria \u00e8 studiata a scuola da due millenni e mezzo, direi. Si fa<\/b> geometria da molto pi\u00f9 tempo, naturalmente; ad esempio, il fatto che un triangolo di lati 3,4,5 \u00e8 rettangolo \u00e8 una cosa nota gi\u00e0 agli antichi egizi. Ma sono stati i greci a inventarsi il concetto di dimostrazione<\/b>, vale a dire fornire una serie di passi logici che portano ad asserire senza ombra di dubbio la validit\u00e0 dell’affermazione data a partire da una serie di assunti iniziali intuitivamente corretti. E sicuramente la vetta di questo modus operandi \u00e8 stata raggiunta con gli Elementi<\/i> di Euclide, dove la geometria viene tutta definita a partire da un insieme di definizioni, tipo «punto \u00e8 ci\u00f2 che non ha parti», e da un piccolo gruppo di affermazioni da prendere “naturalmente” come vere; ci sono cinque assiomi<\/b> (cose che sono generali), tipo «se due cose sono entrambe uguali a una terza, allora sono uguali tra loro» oppure «il tutto \u00e8 maggiore della parte») e cinque postulati<\/b> (cose che sono specifiche della geometria). \n1. Si pu\u00f2 sempre costruire un segmento che passi per due punti dati. Si vede subito che il quinto postulato \u00e8 molto pi\u00f9 complicato degli altri, e stona parecchio. Euclide stesso ne doveva essere convinto, tanto che lo usa solo per ultimo, dopo aver dimostrato il (relativamente poco) dimostrabile usanodo solo gli altri quattro. Ma perch\u00e9 l’ha enunciato in quel modo? Come ho gi\u00e0 scritto in passato, Euclide come tutti i greci non vuole avere a che fare con l’infinito attuale, e quindi non assume come postulato la nozione di parallela; negli Elementi<\/i> l’esistenza di rette parallele \u00e8 pertanto un teorema. Gi\u00e0 da questa mia frase probabilmente avete capito come ci sia una certa qual libert\u00e0 nello scegliere quale affermazione prendere com postulato e quali dimostrare come teorema: molti matematici hanno cos\u00ec pensato di usare un’altra affermazione che sembrasse pi\u00f9 naturale. La formulazione che si usa di solito oggi \u00e8 ad esempio il postulato di Playfair<\/a>, specificato da John Playfair nel 1795: dato un punto P e una retta l che non passa per P, nel piano definito da l e P esiste una e una sola retta passante per P e parallela a l. (Chi parla piemontese pu\u00f2 vederselo anche qua<\/a>…) Ma si pu\u00f2 per esempio postulare che «la somma degli angoli di un triangolo \u00e8 180 gradi», oppure che «esistono triangoli simili», cio\u00e8 con gli stessi angoli ma lati diversi. Euclide avrebbe potuto scegliere queste altre formulazioni, che sono certamente pi\u00f9 brevi; immagino non l’abbia fatto perch\u00e9 implicano concetti pi\u00f9 complessi.<\/p>\n La situazione non era chiaramente ottimale. Nei secoli a seguire, e ancor pi\u00f9 man mano che il nome di Euclide diventava simbolo della perfezione della geometria rispetto alle vili altre scienze, decine di matematici si sono prodigati a trovare un modo per eliminare il bisogno di quel quinto postulato, ricavandolo dagli altri quattro. Il tutto naturalmente senza alcun risultato. L’approccio pi\u00f9 avanzato avvenne nel 1733, quando Girolamo Saccheri decise di approcciare il problema dal punto di vista opposto. Proviamo a immaginare che quel postulato sia falso e sostituiamolo con uno “vero”, disse, e vediamo quello che succede. Nel caso si assumesse l’impossibilit\u00e0 di tracciare una parallela a una retta per un punto esterno – come vedete anche Saccheri usava quello che poi sarebbe stato chiamato postulato di Playfair – arriv\u00f2 rapidamente ad accorgersi che una retta non poteva essere infinita, e quindi stabil\u00ec una contraddizione; nel caso in cui si potevano tracciare (almeno) due parallele, inizi\u00f2 a sfornare teoremi su teoremi diversi da quelli classici. Purtroppo Saccheri era un pavido, o pi\u00f9 facilmente i tempi non erano ancora maturi; cos\u00ec a un certo punto defin\u00ec un risultato che aveva trovato «ripugnante al senso comune», dichiar\u00f2 chiusa la questione, e si affrett\u00f2 a scrivere un libro dal titolo «Euclides ab omni naevo vindicatus»<\/i> («Euclide vendicato da ogni macchia»; la parola latina naevus ha dato il nostro termine neo, ma il significato \u00e8 mutato)<\/p>\n Non che il resto della comunit\u00e0 matematica avesse accettato il ragionamento di Saccheri, tanto che nel 1759 D’Alembert scrisse che il problema delle parallele \u00e8 «lo scandalo degli elementi della geometria». La situazione rimase comunque la stessa ancora per vari decenni; Gauss stesso si mise a studiare il problema, e in una lettera del 1799 al suo amico Wolfgang Bolyai (tenetevi a mente il cognome! E gi\u00e0 che ci siete, sappiate che Wolfgang \u00e8 il nome germanizzato, ma lui era ungherese e il suo vero nome era Farkas) racconta che aveva proseguito il lavoro di Saccheri e trovato molti altri “teoremi stranissimi”, ma nessuno che lui ritenesse impossibile. Come esempio, notava che il quinto postulato era equivalente al teorema «L’area di un triangolo pu\u00f2 essere grande a piacere», e continuava dicendo che tanti altri si sarebbero accontentati, ma lui no. Addirittura il grande matematico tedesco fece una prova pratica, misurando gli angoli formati da tre montagne; il risultato fu di 180 gradi e 15 secondi, ma i margini di errore erano maggiori della differenza trovata. Gauss per\u00f2 non pubblic\u00f2 mai i suoi risultati, convinto che il mondo \u00e8 fatto di beoti che non si sarebbero subito messo a strepitare a prescindere. E in effetti proprio in quegli anni Kant aveva sentenziato che lo spazio (euclideo, diremmo oggi) era un assoluto, una delle poche certezze granitiche che gli uomini possono avere.<\/p>\n Ma ormai i tempi erano maturi, e il diciannovesimo secolo vide una svolta completa… ma di quello parleremo un’altra volta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Quello delle geometrie non euclidee \u00e8 un tema che non pu\u00f2 mancare in un blog di divulgazione matematica; il difficile \u00e8 riuscire a dire qualcosa di diverso dal solito. Cominciamo a vedere la storia dei tentativi di dimostrazione.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[30,29],"class_list":["post-404","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-geometria","tag-storia-della-matematica"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-6w","jetpack-related-posts":[{"id":445,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/13\/prima-di-godel\/","url_meta":{"origin":404,"position":0},"title":"Prima di G\u00f6del…","author":".mau.","date":"13\/09\/2011","format":false,"excerpt":"I teoremi di incompletezza di G\u00f6del hanno segnato la fine della sicurezza che i matematici hanno avuto per 2500 anni. 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\nEcco il testo dei postulati:<\/p>\n
\n2. Un segmento di retta pu\u00f2 venire esteso a piacere.
\n3. Dato un segmento, si pu\u00f2 sempre costruire un cerchio con centro un estremo del segmento e raggio il segmento stesso.
\n4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
\n5. Se due linee sono disegnate in modo da intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee, se sufficientemente prolungate, si intersecheranno tra loro da quello stesso lato.\n<\/p><\/blockquote>\n