{"id":398,"date":"2010-07-27T02:30:33","date_gmt":"2010-07-27T00:30:33","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=398"},"modified":"2022-10-10T16:58:39","modified_gmt":"2022-10-10T14:58:39","slug":"il-teorema-di-pitagora","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/07\/27\/il-teorema-di-pitagora\/","title":{"rendered":"Il teorema di Pitagora"},"content":{"rendered":"

Il teorema di Pitagora \u00e8 indubbiamente uno spauracchio per tutti i “diversamente matematici”, pur avendo – o forse proprio perch\u00e9 ha – una notoriet\u00e0 che va ben al di l\u00e0 delle lezioni di geometria a scuola. Nel 1960 Adriano Celentano cantava il brano “Pitagora” (testo di Luciano Beretta; musica di Piero Soffici), con gli immortali (?) versi <\/p>\n

La somma dei cateti
\ncostruiti su due gambe
\n\u00e8 sempre quella dell’ipotenusa
\nPitagora, Pitagora
\nse l\u2019uomo quadrato sei tu
\ninventami un sistema
\nil nuovo teorema
\nper vivere solo d\u2019amor<\/p><\/blockquote>\n

mentre nella sua opera principe Il mondo come volont\u00e0 e rappresentazione<\/em> Arthur Schopenhauer scriveva a proposito della dimostrazione euclidea del teorema<\/p>\n

Spesso, come nel caso del teorema di Pitagora, si disegnano delle righe e non sappiamo il perch\u00e9, e solo in seguito scopriamo che erano una trappola che si chiude all’improvviso e imprigionano il consenso dell’attonito studente.<\/p><\/blockquote>\n

andando poi a presentare la “sua” dimostrazione… valida solo per il triangolo rettangolo isoscele, e terminando con “ma tanto la si pu\u00f2 mettere a posto anche per un triangolo qualunque”. Occhei, un classico esempio di dimostrazione matematica<\/a>.<\/p>\n

\"[la Diciamocela tutta, per\u00f2: Schopenhauer di matematica non ne avr\u00e0 capita molta, ma aveva ragione da vendere quando diceva che la dimostrazione euclidea del teorema era una Mausefallenbeweise<\/em>, una “trappola per topi”. Guardate qua a fianco la costruzione che viene richiesta: la figura \u00e8 tratta dal monumentale saggio di Federico Peiretti che potete trovare sul sito di Polymath<\/a>. Dal punto di vista di Euclide probabilmente la dimostrazione aveva un senso, visto che si appoggia pesantemente ai teoremi di uguaglianza delle aree dei triangoli e dei rettangoli che aveva da poco dimostrato nei suoi Elementi<\/i>; per noi il tutto \u00e8 una complicazione enorme. L’altra possibilit\u00e0 \u00e8 che Euclide abbia scelto apposta una dimostrazione complicata per far risaltare l’importanza del teorema, anche se personalmente trovo l’ipotesi piuttosto assurda. \u00c8 comunque indubbio che ci siano centinaia e centinaia di dimostrazioni del teorema: a parte che il teorema era gi\u00e0 noto ai babilonesi nel 1850 a.C., per le dimostrazioni si parte addirittura da Platone, che nel suo dialogo Menone<\/i> fa mostrare a Socrate come facendo le domande giuste anche uno schiavo conosce – maieuticamente – l’enunciato del teorema e si arriva persino a un presidente degli Stati Uniti. No, non George W. Bush, bens\u00ec James Garfield, che nel 1876, quando era ancora un semplice deputato, invi\u00f2 al New England Journal of Education<\/i> la sua dimostrazione. Nonostante la data di pubblicazione fosse il primo aprile, il suo approccio non \u00e8 affatto uno scherzo, e ha tra l’altro la particolarit\u00e0 di non disegnare nemmeno un quadrato; la figura fondamentale \u00e8 un trapezio. Il commentatore della rivista termin\u00f2 l’articolo con la frase “Pensiamo che su questa cosa i nostri onorevoli possono essere d’accordo senza distinzione di partito”; non so se oggi potremmo dire la stessa cosa da noi.<\/p>\n

\"[Dimostrazione Quale sia la “migliore” dimostrazione \u00e8 sicuramente una questione di gusto personale; al momento la mia preferita \u00e8 mostrata qui a fianco, ed \u00e8 della serie “dimostrazione senza parole”; \u00e8 stata trovata per la prima volta negli scritti indiani di Bh\u0101skara<\/a>, che visse nel dodicesimo secolo. Basta infatti mettere in una o nell’altra posizione quattro copie identiche del nostro triangolo rettangolo, e avanza esattamente lo spazio per il quadrato costruito sull’ipotenusa oppure per i due quadrati costruiti sui cateti. La parte di destra della figura pu\u00f2 anche essere utilizzata per ricordarsi uno dei prodotti algebrici notevoli: se i cateti del triangolo sono infatti lunghi a<\/i> e b<\/i>, dal disegno si vede che (a+b)2<\/sup><\/i> = a2<\/sup><\/i> + b2<\/sup><\/i> + 2ab<\/i>. <\/p>\n

Per i curiosi, termino con un paio di generalizzazioni del teorema. Innanzitutto non occorre proprio costruire un quadrato sui cateti e sull’ipotenusa: qualunque figura va bene, purch\u00e9 siano tutte e tre simili. Quindi si possono costruire semicerchi, esagoni o anche casette che fanno tanto Monopoli. Inoltre se il triangolo non \u00e8 rettangolo e l’angolo tra i lati a<\/i> e b<\/i> \u00e8 γ si pu\u00f2 applicare il teorema del coseno<\/b> e dire che c2<\/sup><\/i> = a2<\/sup><\/i> + b2<\/sup><\/i> – 2ab<\/i> cosγ, dove c<\/i> \u00e8 naturalmente il terzo lato del triangolo: formula sicuramente meno elegante, il che fa capire come mai nessun matematico antico abbia pensato di appropriarsene!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Il teorema pi\u00f9 famoso della geometria merita indubbiamente una trattazione a s\u00e9.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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