Probabilmente sapete cos’\u00e8 l’induzione matematica: un processo per cui per dimostrare che una propriet\u00e0 vale per tutti i numeri interi la si dimostra in un caso particolare, tipicamente per n<\/i>=1, e poi si dimostra che se vale per k<\/i> allora vale per k<\/i>+1. Tutto qua, il lavoro \u00e8 finito. Infatti, preso un numero grande a piacere, ci si arriver\u00e0 passo passo: quello che conta \u00e8 avere abbastanza pazienza. Ci sono anche alcune varianti dell’induzione: per esempio, si pu\u00f2 partire da un numero maggiore di 1 (per esempio per dimostrare che la somma degli angoli di un n<\/i>-gono \u00e8 n<\/i>−2 angoli piatti bisogna per forza partire dai triangoli); oppure per dimostrare che la propriet\u00e0 vale per k<\/i>+1 si pu\u00f2 chiedere come ipotesi che essa sia valida per tutti i numeri da 1 a k<\/i>. Ma fondamentalmente non cambia molto. Quello che si fa \u00e8 andare verso l’alto: usare numeri sempre maggiori. Un’induzione alla rovescia non pu\u00f2 funzionare: che senso avrebbe tornare all’indietro, se dobbiamo arrivare fino all’infinito? Infinito meno uno che cos’\u00e8? Beh: esiste un caso in cui si fa effettivamente induzione all’indietro! <\/p>\n
Cauchy, nel suo Cours d’analyse<\/i>, ha usato l’induzione alla rovescia per dimostrare che la media aritmetica di n<\/i> numeri positivi, cio\u00e8 la loro somma divisa per n<\/i>, \u00e8 sempre maggiore o uguale della loro media geometrica, vale a dire la radice n<\/i>-sima del loro prodotto. Ecco la sua dimostrazione. Per cominciare, se abbiamo due numeri a<\/i> e b<\/i>, sappiamo che il quadrato della loro differenza, essendo un quadrato, \u00e8 maggiore o uguale a zero:<\/p>\n
(a<\/i> − b<\/i>)2<\/sup> ≥ 0<\/span><\/p>\n Facendo la moltiplicazione, spostando il termine 2ab<\/i> e dividendo per due otteniamo<\/p>\n (a<\/i>2<\/sup> + b<\/i>2<\/sup>)\/2 ≥ ab<\/i><\/span><\/p>\n Abbiamo cos\u00ec dimostrato la nostra ipotesi per due numeri positivi qualsiasi a<\/i>2<\/sup> e b<\/i>2<\/sup> (non devo spiegare perch\u00e9 sono “qualsiasi”, vero?). Primo passo fatto.<\/p>\n Il secondo passo induttivo mostra come raddoppiando il numero di termini la disuguaglianza vale ancora. Se sappiamo che <\/p>\n (a<\/i>1<\/sub> + a<\/i>2<\/sub> + … + a<\/i>n<\/i><\/sub>)\/n<\/i> ≥ n<\/sup>√(a<\/i>1<\/sub>a<\/i>2<\/sub> … a<\/i>n<\/i><\/sub>)<\/span><\/p>\n possiamo sostituire a tutti gli a<\/i>i<\/i><\/sub> l’espressione (a<\/i>i<\/i>1<\/sub> + a<\/i>i<\/i>2<\/sub>)\/2. A sinistra abbiamo la media aritmetica di 2n<\/i> termini; a destra, sostituendo a ciascuno dei (a<\/i>i<\/i>1<\/sub> + a<\/i>i<\/i>2<\/sub>)\/2 il minor valore √(a<\/i>i<\/i>1<\/sub>a<\/i>i<\/i>2<\/sub>), otteniamo la media geometrica di 2n<\/i> termini. Insomma sappiamo che la nostra ipotesi \u00e8 vera per n<\/i> = 2, 4, 8, 16, 32 … E per gli altri valori? Si torna indietro!<\/p>\n Riprendiamo la nostra formula per n<\/i> generico, cio\u00e8 <\/p>\n (a<\/i>1<\/sub> + a<\/i>2<\/sub> + … + a<\/i>n<\/i><\/sub>)\/n<\/i> ≥ n<\/sup>√(a<\/i>1<\/sub>a<\/i>2<\/sub> … a<\/i>n<\/i><\/sub>)<\/span><\/p>\n e sostituiamo a a<\/i>n<\/i><\/sub> la media aritmetica degli altri n<\/i>−1 elementi. Il lato sinistro dell’uguaglianza diverr\u00e0 la media aritmetica dei primi n<\/i>−1 elementi; il fattore che rimane nel lato destro si elimina elevando prima ambo i membri alla potenza n<\/i> e semplificando. Prendendo infine la radice n<\/i>−1-sima otteniamo la nostra tesi induttiva. Un po’ di montagne russe, insomma, e abbiamo tutto!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Chi ha mai detto che l’induzione pu\u00f2 solo andare in 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