![\"[due](\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/07\/fuse1.png?resize=279%2C279\")
Per riuscire a dare una risposta a questo quesito, attribuito a Carl Morris, bisogna pensare in modo laterale, e accorgersi che l’unica possibilit\u00e0 che si pu\u00f2 avere \u00e8 accendere uno stoppino contemporaneamente dai due lati: facendo cos\u00ec, lo stoppino si consumer\u00e0 del tutto una volta passati trenta secondi. Sulle prime non ne ero convinto, visto che come detto lo stoppino non \u00e8 omogeneo: per convincermene ho dovuto compiere un Gedankenexperiment, sdoppiando lo stoppino e accendendo i due cloni ciascuno su un lato diverso. Il momento in cui la bruciatura arriva allo stesso punto \u00e8 necessariamente a met\u00e0 del tempo complessivo, perch\u00e9 altrimenti l’altro stoppino brucerebbe quella parte in un tempo diverso. E per calcolare quarantacinque secondi? Semplice. Oltre ai due lati dello stoppino A<\/i>, si accende contemporaneamente un altro stoppino B<\/i>. Quando A<\/i> \u00e8 bruciato, B<\/i> ha ancora mezzo minuto di autonomia; ma se si accende anche l’altro lato lo stoppino si consumer\u00e0 in 15 secondi, che sommati ai 30 dell’altro stoppino fanno 45 secondi. La figura a destra, presa da questo documento<\/a> di Jeff Erickson, sintetizza le operazioni da fare per misurare un tempo t<\/i>=3\/4.<\/p>\nErickson per\u00f2 non si \u00e8 limitato a risolvere il problema, ma ha pensato di creare una teoria dei numeri fusibili<\/b> (in inglese, “fuse” pu\u00f2 significare stoppino oppure fusibile; per\u00f2 “numeri stoppinici” non mi sembrava una bella cosa). Un numero si dice fusibile se corrisponde a un intervallo di tempo ottenuto usando un numero finito di stoppini che bruciano in 1 unit\u00e0 di tempo. Le regole sono molto rigide. Gli stoppini si possono accendere solo all’istante t<\/i>=0 oppure nel momento in cui \u00e8 bruciato uno stoppino, ma se ne possono accendere contemporaneamente quanti se ne vuole; l’intervallo di tempo si misura dal momento di accensione del primo stoppino a quello in cui l’ultimo termina di bruciare; e non si pu\u00f2 barare accendendo uno stoppino a met\u00e0, oppure spegnendolo e riaccendendolo. \u00c8 chiaro che il pi\u00f9 piccolo numero fusibile maggiore di 0 \u00e8 1\/2, visto che non possiamo fare altro che accendere uno stoppino ai due estremi; ma poi?<\/p>\n
Iniziamo con qualche definizione matematica: se accendiamo un lato di uno stoppino al tempo a<\/i> e il secondo lato al tempo b<\/i>, con |a<\/i>−b<\/i>|<1, lo stoppino terminer\u00e0 di bruciare al tempo a<\/i>~b<\/i> definito dalla formula (a<\/i>+b<\/i>+1)\/2, come potete facilmente verificare. Il fatto che i due tempi devono essere a distanza minore di 1 non \u00e8 un problema: accendendo da un solo lato uno stoppino e aspettando che finisca di bruciare per accenderne un altro possiamo misurare tutti i tempi 0, 1, 2, … e ridurre la differenza tra i due tempi a meno di 1. Bene: abbiamo visto che 0 ~ 0 = 1\/2 e che 0 ~ 1\/2 = 3\/4. \u00c8 abbastanza facile vedere che 0 ~ 3\/4 = 7\/8, e andando di questo passo si possono ottenere tutti i numeri della forma (1 – 2^k<\/i>). Non si raggiunge mai 1, visto che il numero di stoppini che ci servirebbe sarebbe infinito, ma tanto basta usarne 1. Per\u00f2 si pu\u00f2 ancora andare avanti! Si ha che 1\/2 ~ 1\/2 = 1, il che non ci d\u00e0 nessun nuovo numero fusibile, ma 1\/2 ~ 3\/4 = 9\/8, 1\/2 ~ 7\/8 = 19\/16 e cos\u00ec via, arrivando a un secondo limite pari a 5\/4. Ma ci sono ulteriori limiti a livelli sempre pi\u00f9 elevati – si pu\u00f2 dimostrare che i numeri fusibili sono totalmente ordinati e quindi si possono associare loro i numeri ordinali, ma non divaghiamo – finch\u00e9 il limite del limite del limite… \u00e8 il numero 2, come si vede nella figura qui sotto presa sempre dal testo di Erickson. <\/p>\n
![\"[limiti](\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/07\/fusible2.png?resize=659%2C198\")
<\/p>\n
E dopo il 2? Beh, di numeri fusibili ce ne sono davvero tanti. Per darvi un’idea, Erickson ha definito la funzione m<\/i>(x<\/i>) come la differenza tra x<\/i> e il pi\u00f9 piccolo numero fusibile strettamente maggiore di x<\/i>. Se x<\/i> \u00e8 negativo, evidentemente m<\/i>(x<\/i>) = −x<\/i>; altrimenti \u00e8 dato dalla formula ricorsiva m<\/i>(x<\/i>) = m<\/i>(x<\/i> − m<\/i>(x<\/i> −1))\/2. Abbiamo che m<\/i>(0) = 1\/2 cio\u00e8 2^(−1), come abbiamo visto all’inizio. m<\/i>(1) = 1\/8 cio\u00e8 2^(−3), perch\u00e9 possiamo ottenere 9\/8; m<\/i>(2) = 2^(−10) perch\u00e9 si pu\u00f2 ottenere 2049\/1024. Bene: sappiate che m<\/i>(3) \u00e8 uguale a 2^(−1541023937). Quanto a m<\/i>(4), non si sa quanto sia l’esponente (negativo) a cui \u00e8 elevato 2, ma dovrebbe essere uno di quei numeri inconcepibili nati solo per essere usati in questi teoremi.<\/p>\n
Insomma, da un semplice problemino pu\u00f2 uscire tanta matematica. Niente male, vero?<\/p>\n
Aggiornamento:<\/b> (14 luglio) Popinga<\/a> mi ha segnalato che la funzione m<\/i> ha una sua entry nell’OEIS<\/a>. L’unico guaio \u00e8 che viene indicato questo articolo<\/a> che afferma (a) che Erickson ha dimenticato alcuni (tanti) numeri fusibili, e fin qui passi; ma soprattutto (b) che l’autore ha una congettura che non riesce a dimostrare per sapere quanti effettivamente sono. Sembra facile…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Partendo da un semplice problemino, si pu\u00f2 creare una interessante teoria matematica<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-335","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-5p","jetpack-related-posts":[{"id":2428,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/08\/09\/il-paradosso-di-ross-littlewood\/","url_meta":{"origin":335,"position":0},"title":"Il paradosso di Ross-Littlewood","author":".mau.","date":"09\/08\/2011","format":false,"excerpt":"L'infinito \u00e8 una brutta bestia, su questo credo siano in molti a essere d'accordo. 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