{"id":298,"date":"2014-06-06T14:34:43","date_gmt":"2014-06-06T12:34:43","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=298"},"modified":"2022-10-11T13:01:54","modified_gmt":"2022-10-11T11:01:54","slug":"geometria-a-pallini","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/06\/06\/geometria-a-pallini\/","title":{"rendered":"Geometria a pallini"},"content":{"rendered":"<p>David Hilbert, in una delle citazioni matematiche pi\u00f9 notorie, afferm\u00f2 che i teoremi della geometria resterebbero gli stessi se anzich\u00e9 di punti, rette e piani si parlasse di tavoli, sedie e boccali di birra: quello che conta \u00e8 che le relazioni definite dagli assiomi e dai postulati siano valide. L&#8217;esempio di Hilbert \u00e8 chiaramente una battuta, e probabilmente nacque proprio mentre il grande matematico tedesco si trovava in una Stube, caso non certo casuale visto che lui non era certo lo stereotipo del matematico chiuso e scontroso, anzi. Qualcuno per\u00f2 potrebbe chiedersi se per\u00f2 all&#8217;atto pratico punti e rette possano essere pensati davvero in modo diverso da quello che abbiamo tutti visto a scuola, ma comunque in modo naturale: la risposta \u00e8 s\u00ec, e mi accingo a mostrare un esempio pratico.<\/p>\n<p><!--more-->Iniziamo col definire un sistema di assiomi semplificato e quindi pi\u00f9 trattabile, che trovate a pagina 10 del libro di Raymond Wilder <em>Introduction to the Foundation of Mathematics<\/em> (lo trovate su <a href=\"https:\/\/archive.org\/details\/IntroductionToTheFoundationsOfMathematics\">Internet Archive<\/a>). Gli assiomi da cui partiremo sono i seguenti:<\/p>\n<blockquote>\n<ul>\n<li><b>Assioma 1:<\/b> Ogni retta \u00e8 una collezione di punti.<\/li>\n<li><b>Assioma 2:<\/b> Esistono almeno due punti.<\/li>\n<li><b>Assioma 3:<\/b> Se <i>p<\/i> e <i>q<\/i> sono due punti distinti, esiste una e una sola retta che contiene <i>p<\/i> e <i>q<\/i>.<\/li>\n<li><b>Assioma 4:<\/b> Se <i>R<\/i> \u00e8 una retta, esiste un punto che non \u00e8 situato su <i>R<\/i>.<\/li>\n<li><b>Assioma 5:<\/b> Se <i>R<\/i> \u00e8 una retta e <i>p<\/i> \u00e8 un punto non su <i>R<\/i>, esiste una e una sola retta che contiene <i>p<\/i> e non ha nessun punto in comune con <i>R<\/i>.<\/li>\n<\/ul>\n<\/blockquote>\n<p>Se avete studiato geometria piana, gli assiomi vi dovrebbero ricordare qualcosa, a parte la terminologia un po&#8217; buffa (&#8220;contiene&#8221; anzich\u00e9 &#8220;passa per&#8221;, che per\u00f2 sono la stessa cosa, come potete verificare da soli). Abbiamo persino una versione equivalente al postulato delle parallele, che volete di pi\u00f9?<\/p>\n<p>Il secondo passo \u00e8 quello di usare una versione semplificata del gioco di carte <i><a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Set_%28game%29\">Set<\/a><\/i>. Le carte di Set hanno tutte le possibili combinazioni di quattro propriet\u00e0: numero (da 1 a 3), forma (rombo, ovale, tilde), colore (rosso, verde o viola) e riempimento (vuoto, ombreggiato, pieno). Non vi devo specificare che in tutto le carte sono 3<sup>4<\/sup>, cio\u00e8 81. Nella versione di base del gioco occorre costruire degli insiemi (set, in inglese) di tre carte, per cui i valori di ciascuna propriet\u00e0 siano tutti uguali o tutti diversi. Prendiamo ora le nove carte che fissano due propriet\u00e0 (forma tonda, riempimento pieno), come nella figura qui sotto, e chiamiamole &#8220;punti&#8221;. L&#8217;insieme dei nostri &#8220;punti&#8221; sar\u00e0 il nostro &#8220;piano&#8221;; le &#8220;rette&#8221; sono gli insiemi di tre &#8220;punti&#8221; che siano validi insiemi in Set. <\/p>\n<figure id=\"attachment_301\" aria-describedby=\"caption-attachment-301\" style=\"width: 562px\" class=\"wp-caption aligncenter\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/06\/set.png\"><img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" data-attachment-id=\"301\" data-permalink=\"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/06\/06\/geometria-a-pallini\/set\/\" data-orig-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/5\/2014\/06\/set.png?fit=562%2C242&amp;ssl=1\" data-orig-size=\"562,242\" data-comments-opened=\"1\" data-image-meta=\"{&quot;aperture&quot;:&quot;0&quot;,&quot;credit&quot;:&quot;&quot;,&quot;camera&quot;:&quot;&quot;,&quot;caption&quot;:&quot;&quot;,&quot;created_timestamp&quot;:&quot;0&quot;,&quot;copyright&quot;:&quot;&quot;,&quot;focal_length&quot;:&quot;0&quot;,&quot;iso&quot;:&quot;0&quot;,&quot;shutter_speed&quot;:&quot;0&quot;,&quot;title&quot;:&quot;&quot;}\" data-image-title=\"set\" data-image-description=\"\" data-image-caption=\"&lt;p&gt;I nove punti del nostro piano&lt;\/p&gt;\n\" data-large-file=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/5\/2014\/06\/set.png?fit=562%2C242&amp;ssl=1\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/06\/set.png?resize=562%2C242\" alt=\"[i nove punti del nostro piano]\" width=\"562\" height=\"242\" class=\"size-full wp-image-301\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/5\/2014\/06\/set.png?w=562&amp;ssl=1 562w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/5\/2014\/06\/set.png?resize=300%2C129&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 562px) 100vw, 562px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-301\" class=\"wp-caption-text\">I nove punti del nostro piano<\/figcaption><\/figure>\n<p>I nostri assiomi sono rispettati? Vediamolo (senza virgolette, che sono una faticaccia). Ogni retta \u00e8 un insieme di tre punti, quindi vale l&#8217;Assioma 1. Ci sono nove punti, quindi vale l&#8217;Assioma 2. L&#8217;Assioma 3 \u00e8 la regola di base di Set: date due carte qualunque, ne esiste una e una sola che formi un Set. Data ciascuna categoria, le due carte possono avere infatti valori identici (e allora la terza deve avere lo stesso valore), o valori distinti (e allora la terza deve avere il valore mancante). L&#8217;Assioma 4 \u00e8 banalmente vero: una retta ha tre punti, ne avanzano sei. L&#8217;Assioma 5 \u00e8 un po&#8217; pi\u00f9 complicato da verificare, come \u00e8 giusto che sia: mi limito a fare un esempio. Prendiamo la retta {<i>ADG<\/i>} (stesso numero di pallini, colori tutti diversi) e il punto <i>B<\/i> (stesso colore di <i>A<\/i>, numero di pallini diverso). La retta parallela ad <i>ADG<\/i> dovr\u00e0 avere colori tutti diversi e lo stesso numero di pallini, quindi sar\u00e0 {<i>BEH<\/i>}. <\/p>\n<p>Dimostriamo ora un semplice teorema: <i>\u00abOgni punto appartiene almeno a due rette distinte\u00bb<\/i>. La dimostrazione \u00e8 semplice. <\/p>\n<blockquote><p>Prendiamo un punto qualunque <i>p<\/i>. Per l&#8217;Assioma 2, esister\u00e0 almeno un altro punto <i>q<\/i>. Usando l&#8217;Assioma 3, sappiamo che esiste una retta <i>R<\/i> che contiene <i>p<\/i> e <i>q<\/i>, e per l&#8217;Assioma 4 esister\u00e0 un punto <i>q&#8217;<\/i> non contenuto in <i>R<\/i>. Ma ancora con l&#8217;Assioma 3 possiamo costruire una retta <i>R&#8217;<\/i> che passa per <i>p<\/i> e <i>q&#8217;<\/i>, e che evidentemente non coincide con <i>R<\/i>. Le rette <i>R<\/i> e <i>R&#8217;<\/i> sono quelle che cerchiamo. <i>\u220e<\/i><\/p><\/blockquote>\n<p>Non \u00e8 stata certo una faticaccia: per\u00f2, visto che abbiamo lavorato solamente con gli assiomi, possiamo automaticamente affermare che ogni carta di Set pu\u00f2 far parte di due Set diversi. Carino, no? Abbiamo sfruttato la potenza del metodo assiomatico (e la nostra abitudine alla geometria euclidea) per riuscire a trovare una propriet\u00e0 del gioco Set. Se non fossimo stati in grado di costruire le nostre carte, avremmo potuto comunque dimostrare senza troppe difficolt\u00e0 che ci sono almeno quattro carte e sei insiemi. <\/p>\n<p>Queste costruzioni vi sembrano un po&#8217; arzigogolate? Beh, potete allora passare alla geometria proiettiva, quella in cui viene aggiunta una &#8220;retta all&#8217;infinito&#8221; formata dai punti dove si &#8220;incontrano&#8221; le rette parallele. La geometria proiettiva \u00e8 quella che si vede nei quadri e nelle fotografie, quindi \u00e8 qualcosa di assolutamente reale anche se a prima vista un po&#8217; sconcertante (ma solo perch\u00e9 siamo troppo abituati alla geometria euclidea). Bene: nella geometria proiettiva del piano esiste la propriet\u00e0 della <b>dualit\u00e0<\/b>. Dato un qualunque teorema o definizione, se si scambiano tra di loro le coppie di termini &#8220;punto&#8221;\/&#8221;retta&#8221;, &#8220;giace su&#8221;\/&#8221;passa per&#8221;, &#8220;collineari&#8221;\/&#8221;concorrenti&#8221;, &#8220;intersezione&#8221;\/&#8221;unione&#8221; si ottiene un nuovo teorema o definizione anch&#8217;esso vero. Lo stesso vale nella geometria proiettiva dello spazio; un questo caso i termini che si scambiano sono &#8220;punto&#8221;\/&#8221;piano&#8221;, &#8220;\u00e8 contenuto&#8221;\/&#8221;contiene&#8221;. Come allora negare che punto e piano sono solo due nomi da cinque lettere?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Punto, retta e piano sono davvero concetti cos\u00ec naturali da non poter essere diversi? Mica tanto.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-298","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-4O","jetpack-related-posts":[{"id":445,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2011\/09\/13\/prima-di-godel\/","url_meta":{"origin":298,"position":0},"title":"Prima di G\u00f6del&#8230;","author":".mau.","date":"13\/09\/2011","format":false,"excerpt":"I teoremi di incompletezza di G\u00f6del hanno segnato la fine della sicurezza che i matematici hanno avuto per 2500 anni. 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