{"id":280,"date":"2010-11-24T02:30:03","date_gmt":"2010-11-24T01:30:03","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=280"},"modified":"2022-10-10T22:03:47","modified_gmt":"2022-10-10T20:03:47","slug":"ippaso-%e2%88%9a2-e-i-falsi-storici","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2010\/11\/24\/ippaso-%e2%88%9a2-e-i-falsi-storici\/","title":{"rendered":"Ippaso, \u221a2, e i falsi storici"},"content":{"rendered":"

Ippaso di Metaponto<\/a> \u00e8 stato uno dei tanti filosofi della Grecia classica, pi\u00f9 precisamente della scuola pitagorica. A dire il vero non \u00e8 che poi abbiamo tutte quelle notizie storiche su di lui: tanto per dire, ci \u00e8 molto pi\u00f9 noto Carneade. (Beh, se volete proprio sapere qualcosa su di lui chiedete a Galatea<\/a>). A differenza per\u00f2 di quest’ultimo, Ippaso ha la sua bella notoriet\u00e0: le scarse conoscenze che abbiamo dicono che forse \u00e8 stato ucciso dai suoi compagni perch\u00e9 aveva svelato al mondo alcune delle conoscenze matematiche esoteriche della setta, come l’esistenza del dodecaedro regolare; per mancanza di un ulteriore nome di colpevole, poi, a Ippaso \u00e8 anche stata attribuita la scoperta di un fatto sconcertante: l’esistenza di numeri irrazionali.<\/p>\n

Oggi nessuno si preoccupa pi\u00f9 di una quisquilia simile, almeno in teoria; poi magari se ci pensa su si accorge che la parola stessa “irrazionale” ha un certo qual suono sinistro, e magari intuisce qualcosa. Il punto \u00e8 presto spiegato, per\u00f2. Pensateci: tu fai parte di una setta che ha come dogma «Tutto \u00e8 numero», dove “numero” \u00e8 da intendersi come “numero intero positivo, possibilmente piccolo”. Sai che la geometria \u00e8 il modo perfetto per sviluppare conoscenza, proprio perch\u00e9 ti elevi al di sopra delle misere realizzazioni pratiche; e in effetti hai trovato – e dimostrato! – svariate propriet\u00e0 matematiche. Solo che a furia di trovare nuove conoscenze hai scoperto che ci sono due segmenti il cui rapporto (“ratio”) non pu\u00f2 essere espresso per mezzo di due numeri interi: una confutazione insomma della tua religione per mezzo di s\u00e9 stessa, con l’ulteriore fregatura che non puoi nemmeno inventarti un evento miracoloso. O esci pazzo tu, o Chi \u00c8 In Carica fa in modo di zittirti per sempre… una delle leggende su Ippaso afferma infatti che il tapino venne buttato in mare, che insegnasse pure ai pesci le sue eresie!<\/p>\n

La dimostrazione dell’irrazionalit\u00e0 di √2 non \u00e8 difficile, e la si trova facilmente sui libri o in rete. Come capita spesso, la si fa per assurdo, supponendo che invece sia una frazione del tipo a<\/i>\/b<\/i>. Possiamo immaginare che a<\/i> e b<\/i> non siano entrambi pari, visto che in tal caso possiamo dividerli entrambi per 2. Ora, se a<\/i>\/b<\/i> = √2, allora a<\/i>2<\/sup>\/b<\/i>2<\/sup> = 2, cio\u00e8 a<\/i>2<\/sup> = 2b<\/i>2<\/sup>. Ma il quadrato di un numero dispari \u00e8 sempre dispari e quello di un numero pari \u00e8 sempre pari; quindi visto che a<\/i>2<\/sup> \u00e8 un numero pari allora lo \u00e8 anche a<\/i>; diciamo quindi che a<\/i> = 2c<\/i> e teniamo a mente che b<\/i> deve essere dispari. Sostituendo questo valore nella formula precedente, abbiamo pertanto che 4c<\/i>2<\/sup> = 2b<\/i>2<\/sup>, cio\u00e8 2c<\/i>2<\/sup> = b<\/i>2<\/sup>. Ma per la stessa ragione di prima anche b<\/i> deve essere pari, il che \u00e8 impossibile. QED. <\/p>\n

Occhei, spero siate riusciti a resistere e seguire i passaggi fino in fondo. Oggettivamente per noi nel ventunesimo secolo non dovrebbe esserci nulla di trascendentale, anche se probabilmente non ci sarebbe mai venuto in mente da soli questo tipo di approccio alla dimostrazione. Ippaso o chi per lui insomma \u00e8 stato un tipo molto acuto, giusto? Indubbiamente s\u00ec: peccato che quella dimostrazione sia un falso storico. Un falso molto antico, se non sbaglio essa viene citata pi\u00f9 o meno su queste linee gi\u00e0 da Aristotele: ma nondimeno un falso. Gli storici della matematica ritengono infatti che la prima dimostrazione dell’esistenza di numeri irrazionali sia stata geometrica, il che collimerebbe con l’attenzione greca in generale e pitagorica in particolare per la geometria. Su quale fosse la dimostrazione vera e propria, per\u00f2, buio profondo. Alcuni studiosi, basandosi sull’associazione tra Ippaso e dodecaedro, cio\u00e8 coi pentagoni, hanno immaginato che il primo numero irrazionale ad essere stato riconosciuto come tale fosse √5, e hanno presentato una dimostrazione che parte dalla stella a cinque punte, il pentacolo faustiano insomma: se siete curiosi la trovate qui<\/a>.<\/p>\n

\"[Dimostrazione<\/a><\/a>Data l’ovvia premessa che noi possiamo solo fare delle congetture su come oper\u00f2 Ippaso o chi per lui, la dimostrazione geometrica a mio parere pi\u00f9 bella dell’irrazionalit\u00e0 di √2 \u00e8 stata trovata da Stanley Tennenbaum negli anni ’50, ed \u00e8 presentata qui a fianco. Anche in questo caso la dimostrazione \u00e8 per assurdo; la cosa non \u00e8 cos\u00ec strana, visto che la definizione stessa di numero irrazionale \u00e8 per cos\u00ec dire in negativo («un numero che non \u00e8<\/b> definibile come rapporto di due interi»). Supponiamo che √2 sia razionale; possiamo allora trovare due quadrati di lato intero positivo<\/i> (il punto chiave \u00e8 questo) tali che la superficie del quadrato grande sia pari alla somma delle superfici di due copie del quadrato piccolo. Impacchettiamo ora i tre quadrati come nella figura qui a fianco; i due quadrati piccoli sono fatti partire dai vertici opposti di quello grande, si sovrapporranno un po’ (la parte pi\u00f9 scura) e lasceranno scoperte delle parti (in verde nel disegno). \u00c8 immediato accorgersi che la superficie della zona in cui i quadrati si sovrapongono \u00e8 uguale a quella delle due zone non coperte dai quadrati; ed \u00e8 anche immediato accorgersi che tutte e tre le zone sono dei quadrati pi\u00f9 piccoli degli originali. Ma allora possiamo applicare lo stesso ragionamento e trovare quadratini ancora pi\u00f9 piccoli, e ancora, e ancora… Beh, no. Prima o poi ci dobbiamo fermare, perch\u00e9 non abbiamo a disposizione infiniti numeri interi positivi sempre pi\u00f9 piccoli. A furia di scendere si arriva a 1, e qui ci si deve fermare per forza. Quindi la nostra ipotesi \u00e8 falsa, non \u00e8 possibile trovare due quadrati di quel tipo, e pertanto √2 non \u00e8 razionale. QED. <\/p>\n

Questo tipo di dimostrazione ha un nome preciso: discesa infinita<\/b><\/a>. Il metodo \u00e8 stato sviluppato formalmente da Fermat, e mi sa tanto che lui sia stato l’unico a usarlo seriamente, soprattutto nella teoria dei numeri; \u00e8 insomma una di quelle tecniche che si presentano giusto per far fare degli ooooh! di meraviglia a chi verifica il risultato, ma che non si pretende certo vengano usate in pratica. Le cose funzionano anche cos\u00ec. Per i veri curiosoni, ho il sospetto che Tennenbaum sia arrivato alla dimostrazione partendo dallo sviluppo di √2 in frazione continua… ma delle frazioni continue parler\u00f2 un’altra volta.<\/p>\n

Ah: se la cosa vi \u00e8 piaciuta, in questo articolo<\/a> ci sono dimostrazioni grafiche dell’irrazionalit\u00e0 di diversi numeri della forma “radice quadrata di un numero che non \u00e8 un quadrato”. Non venitemi poi a dire che con la geometria non si possa fare nulla.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La dimostrazione dell’irrazionalit\u00e0 della radice quadrata di due, agli occhi di noi moderni, \u00e8 piuttosto semplice, anche se possiamo immaginare che quando venne trovata fosse stata dirompente. Peccato che quella dimostrazione sia un falso.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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