{"id":277,"date":"2014-05-28T18:25:59","date_gmt":"2014-05-28T16:25:59","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=277"},"modified":"2022-10-11T13:01:48","modified_gmt":"2022-10-11T11:01:48","slug":"euclide-e-linfinita-dei-numeri-primi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2014\/05\/28\/euclide-e-linfinita-dei-numeri-primi\/","title":{"rendered":"Euclide e l&#8217;infinit\u00e0 dei numeri primi"},"content":{"rendered":"<p>Uno dei pi\u00f9 noti risultati matematici \u00e8 probabilmente l&#8217;infinit\u00e0 dei numeri primi; chi ha un minimo di conoscenze matematiche &#8220;sa&#8221; che Euclide ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti, e forse si ricorda anche la &#8220;dimostrazione per assurdo&#8221;: e i numeri primi fossero finiti, li si prende tutti, li si moltiplica tra di loro e si somma uno, ottenendo un numero primo che non era tra quelli dati. Peccato che Euclide non abbia mai scritto tutto questo, anche per l&#8217;ottima ragione che \u00e8 falso.<\/p>\n<p><!--more--> Qualche anno fa,  Michael Hardy e Catherine Woodgold scrissero un articolo sul Mathematical Intelligencer, <i>Prime Simplicity<\/i>, mostrando come alcuni matematici anche famosi abbiano clamorosamente sbagliato a definire il problema, e che molti altri matematici si sono adagiati sulla comoda spiegazione &#8220;\u00e8 una dimostrazione per assurdo&#8221;, mentre il grande matematico alessandrino aveva fatto una dimostrazione fondamentalmente costruttiva, come vedremo tra poco. Innanzitutto, come gi\u00e0 avevo raccontato nel mio <i>Matematica e infinito<\/i>, la proposizione che Euclide ha scritto \u00e8 (traslitterata) \u00ab<em>hoi protoi arithmoi pleious eisi pantos tou protethentos plethous proton arithmon<\/em>\u00bb, la cui traduzione letterale \u00e8 pi\u00f9 o meno \u00abi numeri primi sono pi\u00f9 numerosi di ogni quantit\u00e0 data di numeri primi\u00bb. Che non si parli di infinit\u00e0 di numeri primi \u00e8 ovvio, considerando che per gli antichi greci l&#8217;infinito \u00e8 solo potenziale e non attuale; pi\u00f9 interessante notare che il testo parte con un insieme qualunque di numeri primi, non necessariamente consecutivi, men che meno supponendo che siano per assurdo tutti quelli possibili. La dimostrazione infatti consiste nel mostrare che se ne pu\u00f2 sempre trovare almeno un altro. Il testo euclideo \u00e8 difficile da usare per un moderno, perch\u00e9 per lui i numeri sono segmenti e il concetto &#8220;<i>a<\/i> \u00e8 divisibile per <i>b<\/i>&#8221; \u00e8 reso come &#8220;il segmento CB misura il segmento DA&#8221;; &#8220;misura&#8221; significa che puoi mettere vicine tante copie di CB e coprire esattamente DA. Per semplicit\u00e0, scrivo la dimostrazione usando la terminologia moderna. <\/p>\n<blockquote><p>Immaginiamo di avere i numeri primi <i>a<\/i>, <i>b<\/i>, &#8230;, <i>k<\/i>. Prendiamo il prodotto <i>ab&#8230;k<\/i> e sommiamogli uno, ottenendo un numero <i>N<\/i>. Ora si danno due casi: <i>N<\/i> \u00e8 primo, oppure non lo \u00e8. Nel primo caso abbiamo trovato un ulteriore numero primo. Nel secondo caso, <i>N<\/i> sar\u00e0 divisibile per un primo <i>p<\/i>; ma <i>p<\/i> non pu\u00f2 essere nessuno tra <i>a<\/i>, <i>b<\/i>, &#8230; <i>k<\/i> perch\u00e9 nessun numero (diverso da 1) pu\u00f2 dividere allo stesso tempo <i>N<\/i> e <i>N<\/i>&minus;1 (cio\u00e8 il prodotto dei numeri primi di partenza). Dunque anche in questo caso abbiamo trovato un ulteriore numero primo.<\/p><\/blockquote>\n<p>Hardy e Woodgold affermano che forse il lemma implicito sull&#8217;impossibilit\u00e0 per un numero maggiore di 1 di dividere <i>N<\/i> e <i>N<\/i>&minus;1 potrebbe essere frutto di una dimostrazione per assurdo, ma a mio parere \u00e8 pi\u00f9 probabile che anch&#8217;esso sia dimostrato costruttivamente. Basta infatti vedere che se <i>p<\/i> misura <i>N<\/i>&minus;1 abbiamo un certo numero di copie di <i>p<\/i> che messe assieme sono lunghe <i>N<\/i>&minus;1. Ma aggiungendone un&#8217;altra copia, visto che <i>p<\/i> \u00e8 maggiore di 1, allora si supera per forza <i>N<\/i>. Questo per\u00f2 non \u00e8 cos\u00ec importante: le dimostrazioni per assurdo erano comunque note agli antichi, a partire da quella dell&#8217;<a href=\"http:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2010\/11\/24\/ippaso-\u221a2-e-i-falsi-storici\/\">irrazionalit\u00e0 della radice quadrata di 2<\/a>, anche se erano considerate di serie B. Il vero punto \u00e8 che bisogna sempre stare attenti alle dimostrazioni, perch\u00e9 possono contenere errori, anche se a scriverle sono matematici di vaglia. Inutile dire che con le <i>mie<\/i> dimostrazioni dovreste essere ancora pi\u00f9 attenti&#8230;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Non \u00e8 vero che Euclide ha dimostrato che ci sono &#8220;infiniti&#8221; numeri primi, e non \u00e8 nemmeno vero che ha fatto una dimostrazione per assurdo<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1],"tags":[8,77,78,29],"class_list":["post-277","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized","tag-aritmetica","tag-euclide","tag-numeri-primi","tag-storia-della-matematica"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yP-4t","jetpack-related-posts":[{"id":2584,"url":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/04\/03\/euclide-aritmetico\/","url_meta":{"origin":277,"position":0},"title":"Euclide aritmetico","author":".mau.","date":"03\/04\/2013","format":false,"excerpt":"Gli Elementi non parlano solo di geometria, ma anche di aritmetica; 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