{"id":2628,"date":"2013-07-11T13:37:24","date_gmt":"2013-07-11T11:37:24","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2628"},"modified":"2022-10-11T12:41:49","modified_gmt":"2022-10-11T10:41:49","slug":"somme-di-quadrati-pillole","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/ilpost\/2013\/07\/11\/somme-di-quadrati-pillole\/","title":{"rendered":"Somme di quadrati [Pillole]"},"content":{"rendered":"<p>L&#8217;<a href=\"http:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Identit%C3%A0_di_Brahmagupta\">identit\u00e0 di Brahmagupta<\/a>, dal nome di un matematico indiano del VII secolo, mostra come il prodotto della somma di due quadrati si pu\u00f2 scrivere come somma di (altri) due quadrati: <\/p>\n<blockquote><p>&nbsp;(<i>a<\/i><sup>2<\/sup>+<i>b<\/i><sup>2<\/sup>)(<i>c<\/i><sup>2<\/sup>+<i>d<\/i><sup>2<\/sup>) = (<i>ac<\/i>&minus;<i>bd<\/i>)<sup>2<\/sup> + (<i>ad<\/i>+<i>bc<\/i>)<sup>2<\/sup><\/p><\/blockquote>\n<p>La formula \u00e8 stata poi ri-scoperta da Fibonacci e ri-riscoperta da Fermat, e forse era gi\u00e0 conosciuta da Diofanto.<\/p>\n<p>Nel 1748 Eulero mostr\u00f2 come il prodotto della somma di <b>quattro<\/b> quadrati si pu\u00f2 scrivere come somma di <b>quattro<\/b> quadrati: nel 1843 Hamilton riscopr\u00ec la formula, che potete trovare per esempio <a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/EulerFour-SquareIdentity.html\">qui<\/a>. Nel 1843 il giurista John Thomas Graves e nel 1845 il matematico Arthur Cayley mostrarono come il prodotto della somma di <b>otto<\/b> quadrati si pu\u00f2 scrivere come somma di <b>otto<\/b> quadrati. Ah, il matematico danese Ferdinand Degen l&#8217;aveva gi\u00e0 scoperto nel 1818  (vedi <a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/DegensEight-SquareIdentity.html\">qua<\/a>).<\/p>\n<p>A questo punto i matematici, oltre a capire che non era bello perdere tempo a ridimostrare qualcosa, hanno iniziato a cercare un modo per scrivere il prodotto della somma di <b>sedici<\/b> quadrati come somma di <b>sedici<\/b> quadrati; ma nel 1898 Adolf Hurwitz dimostr\u00f2 che (1), 2, 4 e 8 erano gli unici casi possibili. Fine della storia? Quasi. Il bello \u00e8 che questi casi sono gli unici che funzionano perch\u00e9 corrispondono alla moltiplicazione rispettivamente nei numeri reali, nei complessi, nei quaternioni (ciao, Hamilton!) e negli ottetti (ciao, Cayley!), e quelli sono gli unici corpi in cui si possano fare moltiplicazioni decenti, come raccontavo <a href=\"https:\/\/www.ilpost.it\/mauriziocodogno\/2011\/12\/01\/quaternioni-e-ottetti-per-non-parlar-di-sedenioni\/\">qualche anno fa<\/a>. La matematica \u00e8 sempre troppo interconnessa.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>alcune buffe identit\u00e0 che hanno un significato profondo in algebra<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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